白鹭洲中学2013届高三适应性考试数学试卷（文科）

一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，
}，
{5，7}，则实数a的值为 ( )

A．1 B． 3 C．5 D． 7

2.设复数
，若
为纯虚数，则实数
( )

A．
B.
C.
D.

3.设等差数列
的前
项和为

、
是方程
的两个根，
( )

A．
B．5 C．
D．-5

4.函数
（其中A＞0，
）的图象如图所示，为了得到
的图象，则只需将
的图象( )

A．向右平移
个长度单位

B. 向左平移
个长度单位

C．向右平移
个长度单位

D． 向左平移
个长度单位

5.执行如图所示的程序框图，则输出的S值为 ( )

A．3 B．6 C．7 D．10

6.某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱长中，长度最大的是 ( )

A．
B．

C．
D．

7.已知函数
的定义域为
，且
为偶函数，

则实数
的值可以是( )

A．
B．
C．
D．

8.若在区间
内任取实数
，在区间（0，1）内任取实数b，则直线
与圆
相交的概率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

9.设椭圆
的离心率为
，右焦点
，方程
的两个实数根分别为
，则点
（ ）

A．必在圆
外. B．必在圆
上.

C．必在圆
内. D．与
的位置关系与
有关.

10.一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为
，则下列关系中正确的为 ( )

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．

11.统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，规定

不低于60分为及格，则及格人数是 名.

12.设
.

13.对于任意

恒成立，

则实数
的取值范围______.

14.若函数
的图象与x轴

交于点A，过点A的直线
与函数的图象交于B、C两点，则

15.给定下列命题:

①过点
且与圆
相切的直线方程为
.

②在△
中，
，
，
，在
上任取一点
，

使△
为钝角三角形的概率为
.

③
是不等式
成立的一个充分不必要条件.

④“存在实数
使
”的否定是“存在实数
使
”.

其中真命题的个数为

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量
=（sinA,b+c），

=（a－c,sinC－sinB）,满足
=
（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）设
=（sin（C+
）,
）,
=（2k,cos2A）（k>1）,
有最大值为3，

求k的值.

17.对某新开张超市一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），

（1）求样本的中位数和极差；

（2）若每天的经营情况分盈利，亏本两种（以顾客数45人为

界，45人以上为盈利，否则亏本），则连续4天的经营情况包含多

少种基本事件？若4天中至少2天盈利，超市才能在市场中得以生

存，求新超市存在的概率？（用分数作答）

18.如图直三棱柱
的侧棱长为
，
，且
，点

分别是棱
上的动点，且
.

(Ⅰ)求证：无论
在何处，总有
；

(Ⅱ)当三棱锥
的体积取得最大值时，

求异面直线
与
所成角的余弦值.

19. 将数列
中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：

已知表中的第一列数
构成一个等差数列，记为
，

且
.表中每一行正中间一个数
构成数列
，其前
项和为
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成

等比数列，公比为同一个正数，且
,求
。

20.已知抛物线

的准线为
,焦点为
.
的圆心在
轴的正半轴上,且与
轴相切．过原点
作倾斜角为
的直线
,交
于点
, 交
于另一点
,且
.

（Ⅰ）求
和抛物线
的方程；

（Ⅱ）若
为抛物线
上的动点,求
的最小值；

（Ⅲ）过
上的动点
向
作切线,切点为
,

求证：直线
恒过一个定点,并求该定点的坐标.

21．已知函数
.

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2）若
存在极值点，求实数b的取值范围；

（3）当b=0时，令
.P(
)，Q(
)为曲线
上的两动点，
为坐标原点.能否使得
是以
为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由.

白鹭洲中学2013届高三适应性考试数学试卷答案（文科）

一、选择题：B D A B D D B C A C

10.前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离，所以
、
、
，第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边之间的距离之比，所以
，则

二、填空题：11. 800 12.3 13.
14.32 15. 2

16. 解：（Ⅰ）由条件
两边平方得：
……2分

得：
,

根据正弦定理，可化为：
即
……4分

由余弦定理得：
……6分

（Ⅱ）

=2ksin（C+
）+
cos2A=2ksin（C+B）+
cos2A=2ksinA+
-

=-
+2ksinA+
=-
+
（k>1）. ……8分

而0

17、解：(1)解：中位数为：46，极差为：56 (4分)

(2)由图知，盈利、亏本均为
，超市盈利√表示；亏本×表示，则四天来经营情况有16种：√√√√，×√√√，√×√√，√√×√，√√√×，××√√，×√×√，×√√×，√××√，√×√×，√√××，√×××，×√××，××√×，×××√，××××

其中满足条件的有11种情况，P=
（12分） （第二种方法）互斥事件：P=
( 12分）

18.

19. 解：（1）设数列
的公差为
，

则
，解得
，所以
.…………………………………5分

（2）①设每一行组成的等比数列的公比为

由于前
行共有
个数，且
，

所以
． 所以
，又
，解得

因此
．………………8分

所以

……………………10分

因此

解得
……………………………12分

20．解：（Ⅰ）因为
,即
, 所以抛物线C的方程为
……… 2分

设⊙M的半径为
,则
, 所以
的方程为
……………… 4分

（Ⅱ）设
,则
=

所以当
时,
有最小值为2 ………………………… …………………8分

（Ⅲ）以点Q这圆心,QS为半径作⊙Q,则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦
… 11分

设点
,则
,所以⊙Q的方程为

从而直线QS的方程为
(*)………………… ……

因为
一定是方程(*)的解,