江西省南昌市2012—2013学年度高三第二次模拟

数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共1 50分．

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目"与考生本人准考证号、姓名是否一致．

2．第1卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第1I卷j_}=I O．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．

3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收同．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共1 O小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数
（其中i为虚数单位），则复数z在坐标平面内对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知
，则a，b?，c的大小关系是

A．c

3．将函数
图像上所有的点向左平行移动
个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为

A．
B．
c．
D．

4．“m<0”是“函数
存在零点"的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

5．若空间几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为

A．

B．

C．

D．8

6．下列四个判断：

①某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m，n，某次测试教学平均分别是a，b，则这两个班的数学平均分别为
；②从总体抽取的样本（1，2，5），（2，3，1），（3，3，6），（4，3，9），（5，4，4），则回归直线
必过点（3，3，6）；③已知
服从正态分布N（1，22），且
=0.3，则

其中正确的个数有

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

7．将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有

A．18种 B．36种 C．48种 D．60种

8．已知点M（a，b）（a>0，b>0）是圆C：x2+y2=1内任意一点，点P（x，y）是圆上任意一点，则实数ax+by一1

A．一定是负数 B．一定等于0

C．一定是正数 D．可能为正数也可能为负数

9．等差数列
的前n项和为
，公差为d，已知

，则下列结论正确的是

A．
B．

C．
D．

10．如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，设∠DAB=
，
∈（0，
），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，设
的大致图像是

第Ⅱ卷

注意事项：

第Ⅱ卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11．曲线
与坐标轴所围成押科形面积是 .

12．已知集合
，在集合A中任意取一个元素a，则a∈B的概率是 .

13．执行如图所示的程序框图，若输入a的值为2，则输出的p值是 .

14．观察下面两个推理过程及结论：

（1）若锐角A，B，C满足A+B+C=
，以角A，B，C分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可得到等式：

（2）若锐角A，B，C满足A+B+C=
，则
=
，以角
分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可以得到的等

式：

则：若锐角A，B，C满足A+B+C=
，类比上面推理方法，可以得到一个等式是 .

三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分。

15．（1）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系
中，直线l的参数方程为
（参数
），圆C的参当选不
，则圆C的圆心到直线l的距离为 .

（2）（不等式选做题）设
对任意实数
恒成立，则x取值集合是 .

四、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1 6．（本小题满分12分）南昌市为增强市民的交通安全意识，面向全市征召“小红帽"志愿者在部分交通路口协助交警维持交通。把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[20，25）、第2组[25，30）、第3组[30，35）、第4组[35，40）、第5组[40，45），得到的频率分布直方图如图所示：

（1）若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取1 2名志愿者在五．一节这天到广场协助交警维持交通，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者?

（2）在（1）的条件下，南昌市决定从这l 2名志愿者中，随机抽取3名志愿者到学校宣讲交通安全知识，若
表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求
的分布列和数学期望。

17．（本小题满分12分）

已知向量

（1）当x∈
时，求函数
的值域；

（2）锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若5a=4
c，b=7
，
，求边a，c．

18．（本小题满分12分）右表是一个由正数组成的数表，数表中各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公比都相等，已知

（1）求数列{
}的通项公式；

（2）设
求数列{
的前n项和
．

19．（本小题满分12分）如图已知：菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°点H，G分别是线段EF，BC的中点．

（1）求证：平面AHC⊥平面BCE：

（2）点M在直线EF上，且MG//平面AFD，求平面ACH与平面ACM所成角的余弦值。

20．（本小题满分13分）已知椭圆
=1的离心率等于
，点P（2，
）在椭圆上。

（1）求椭圆C方程；

（2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，过点Q（2，0）的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，是否存在定直线
：x=t，使得直线
与AN的交点G总在直线BM上?若存在，求出一个满足条件的t值；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数

（1）当
0时，讨论函数
的单调性；

（2）若函数
的图像上存在不同两点A，B，设线段AB的中点为
，使得
在点
处的切线l的直线AB平行或重合，则说函数
是“中值平衡函数”，切线l叫函数
的“中值平衡切线”。试判断函数
是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数
的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由。