2013年华南师范大学附属中学高三综合测试

数学（理）

2013.5.23

第Ⅰ卷（共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的

1. 已知
是虚数单位，则复数
所对应的点落在

A. 第一象限； B. 第二象限； C. 第三象限； D. 第四象限

2. 已知全集
，
，
，则

A.
； B.
； C.
； D.

3. 公比为2的等比数列
的各项都是正数，且
，则

A. 4； B. 5； C. 6； D. 7

4. 若
满足约束条件
，则
的取值范围是

A.
； B.
； C.
； D.

5.
分别是正方体
的棱
的中点，如图是过
和
的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为



6. 若将函数
表示为
，其中
，
，
，
，
为实数，则

A. 10； B. 20； C.
； D.

7. 在
中，已知向量
，
，则
的面积为

A.
； B.
； C.
； D.

8. 对应定义域和值域均为
的函数
，定义：
，
，
，
，
，方程
的零点称为
的
阶不动点。

设
，则
的
阶不动点的个数是

A.
； B.
； C.
； D.

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

（一）必作题（9~13题）

9. 双曲线
的焦距是

10.

11. 已知
，则
的值为

12. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，

则输出的结果是

13. 已知命题“
，
”是假命题，

则实数
的取值范围是

（二）选作题（请考生在以下两个小题中任选一题作答）

14. （坐标系与参数方程选作题）以平面直角坐标系的原点为极点，
轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知圆的方程是
，则它的圆心到直线
（
为参数）的距离等于

15. （几何证明选讲选作题）如图，已知
是
外一点，

为
的切线，
为切点，割线
经过圆心
，

若
，
，则
的半径长为

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16. （满分12分）已知函数
，
的图像的一部分，如图所示。

（1）求函数
的解析式；

（2）当
时，求函数
的最大值与最小值及相应的
的值



17.（满分12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表。



已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为
，

（1）请将上面的列联表补充完整；

（2）是否有
的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；

（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为
，求
的分布列、数学期望以及方差。

下面的临界值表仅供参考：



18. （满分14分）数列
是公差为正数的等差数列，
、
且是方程
的两根，数列
的前
项和为
，且
，

（1）求数列
、
的通项公式；

（2）记
，求数列
的前
项和

19. （满分14分）如图，
、

为圆柱的母线，
是底面圆
的直径，
分别是
、
的中点，
平面
，

（1）证明：
平面

（2）若
，求
与平面
所成角的正弦值

20. （满分14分）如图，已知椭圆
的上、下顶点分别为
，点
在椭圆上，且异于点
，直线
与直线
分别交于点
，

（1）设直线
的斜率分别为
、
，求证：
为定值；

（2）求线段
的长的最小值；

（3）当点
运动时，以
为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论。



21. （满分14分）已知函数
，
，

（1）若
，试确定函数
的单调区间；

（2）若
，且对于任意的
，
恒成立，试确定实数
的取值范围；

（3）设函数
，求证：
，