本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设
，
，则有（ ）．

A．
B．
C．
D．

2．关于复数的命题：

（1）复数
；（2）复数
的模为
；

（3）在复平面内,纯虚数与
轴上的点一一对应，其中真命题的个数是（ ）．

A．0个　　　　 B．1个　　　　 C．2个　　　 D．3个

3．一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为( ) ．

A．长方形　　　

B．直角三角形　　　

C．圆　　　

D．椭圆

4．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，
，
分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，
分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）．

A．
B．
　　　 　

C．
　　　 　D．

5．设
是直线，
，
是两个不同的平面,下列命题正确的是（　　）．

A. 若
，
，则
B. 若
，
，则

C. 若
，
，则
D. 若
,
，则

6．函数
的值域为（ ）．

A． [-2 ,2] 　 B．[-
,
] C．[-1,1] 　 D．[-
,
]

7．公差不为零的等差数列
的前
项和为
，若
是
与
的等比中项，且
，则
=（ ）

A．80　　　　　　 B．160　　　　　 C．320　　　　 D．640　

8．定义在
上的函数
，满足
，
，若
且
，则有（ ）．

A．
B．
　 C．
　D．不能确定

9．设
，
是双曲线
的左右两个焦点，若在双曲线的右支上存在一点
，使
（
为原点）且
，则双曲线的离心率为（ ）．

A．
　　　　B．
　　　　 C．
　　　　 D．

10．如图，线段
=8，点
在线段
上，且
=2，
为线段
上一动点，点
绕点
旋转后与点
绕点
旋转后重合于点
.设
=
，

的面积为
.则
的最大值为（　　　）．

A.
　　　 B． 2　 　

C．3 　　　 D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11．已知向量
则
的最大值为 ．

12．下列程序框图输出的结果
　　　　，
　　　　．

13．在二项式
的展开式中，含
的项的系数是 ．

14．如图，将正
分割成16个全等的小正三角形，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于同一直线上的点放置的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列，若顶点
处的三个数互不相同且和为1，则所有顶点的数之和
　　　　　　．

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分．

15．（1）设点
的极坐标为
，直线
过点
且与极轴垂直，则直线
的极坐标方程为 　．

（2）已知函数
,若关于
的不等式
的解集为
，则
的取值范围是 ．

四、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

　已知
的内角
所对边分别为
，且
.

（1）求角
的大小；

（2）若
，求边长
的最小值．

17．（本小题满分12分）

已知直角梯形
中，
，
，

，
是等边三角形，平面
⊥平面
.

（1）求二面角
的余弦值；

（2）求
到平面
的距离．

18．（本小题满分12分）

某医院将一专家门诊已诊的1000例病人的病情及诊断所用时间（单位：分钟）进行了统计，如下表．若视频率为概率，请用有关知识解决下列问题．

病症及代号

普通病症

复诊病症

常见病症

疑难病症

特殊病症



人数

100

300

200

300

100



每人就诊时间（单位：分钟）

3

4

5

6

7



用
表示某病人诊断所需时间，求
的数学期望．

并以此估计专家一上午（按3小时计算）可诊断多少病人；

某病人按序号排在第三号就诊，设他等待的时间为
，求
；

求专家诊断完三个病人恰好用了一刻钟的概率．

19．（本小题满分12分）

已知
是数列
的前
项和，且对任意
，有
，

求
的通项公式；

求数列
的前
项和
．

20. （本小题满分13分）

设椭圆

的左右焦点分别为
，上顶点为
，在
轴的负半轴上有一点
，满足
，且

（1）若过
三点的圆
恰好与直线
相切，求圆
的方程及椭圆
的方程；

（2）若过点
的直线与椭圆
相交于两点
，设
为椭圆上一点，且满足
（
为坐标原点），求实数
的取值范围．

21. （本小题满分14分）

设

求
及
的单调区间

设
，
　
两点连线的斜率为
，问是否存在常数
，且
，当
时有
，当
时有
；若存在，求出
，并证明之，若不存在说明理由.

景德镇市2013届高三第三次质检试卷

数学试题（理）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

17. 解：（1）过
作
，垂足为
，则
，过
作
交
于
，交
于

∵
为等腰直角三角形，

∵

∴
，

∴
，

∴

∴
……………………………6分

（2）∵
，
，

……………………………12分

19．解：（1）当
时，
得

当
时

由
　　　　　　　 　①

得
　　　　　　　②

①
②得

　即
化为

数列
是以
为首项，以
为公差的等差数列，

……………………………6分

（2）由（1）得：

(2)由题意知直线
斜率存在，设其方程为：

，
，

由
得

，
……………………………6分

，

在椭圆上，

又
时

． ……………………………13分

21. 　 解;(1)

，当
时

当
时

在
上单调递增，

在
上单调递减．……………………………5分

（2）

设

在
上单调递减

令

解得

则当
时，

即

当
时，

即
……………………………8分

现在证明：

考察：

设

，当
时，
，
递减

所以，当
时，
，

即

即
……………………………12分

再考察：

设

，当
时，
，
递增

所以，当