2013届江西省吉安县二中五月第二次周考理科数学试卷第Ⅰ卷

（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小 题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知
，若复数
为纯虚数，则
（ ）

（A） （B）
（C）
（D）

2．已知
，
，则
（ ）

（A）
（B）
或
（C）
（D）

3．下列函数中在区间
上为增函数，且其图像为轴对称图形的是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）

（A）
（B）160 （C）
（D）

5．计划在个不同的体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有（ ）

（A）60种 （B）42种 （C）36种 （D）24种

6．已知圆C过点
，且圆心在x轴的正半轴上，直线
被该圆所截得的弦长为
，则圆C的标准方程为（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

7．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）

（A）
（B）
（C）2 （D）1

8．已知函数
，则（ ）

（A）
在
时取得最小值
，其图像关于点
对称

（B）
在
时取得最小值，其图像关于点
对称

（C）
在
单调递减，其图像关于直线
对称

（D）
在
单调递增，其图像关于直线
对称

9．已知向量
，
，
，且
，则
取得最小值时， =（ ）

（A） （B） （C） （D）

10．已知球的直径
，
是球球面上的三点，
是正三角形，且

，则三棱锥
的体积为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

11．过双曲线
的左焦点
作圆
的切线，切点为，延长
交抛物线
于点，为原点，若
，则双曲线的离心率为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

12．已知
是函数
的零点，
，则

①
；②
；③
；④

其中正确的命题是（ ）

（A）①④ （B）②④ （C）①③ （D）②③

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知
，若
的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中
项的系数为___________

14．已知不等式
的解集为，不等式
的解集为，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______________

15．设函数
，是由轴和曲线
及该曲线在点
处的切线所围成的封闭区域，则
在上的最大值为______________

16．
的内角
的对边长分别为
，若
，且
，则
__________

三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

已知等比数列
是递增数列，

，数列
满足
，且
（
）

（1）证明：数列
是等差数列；

（2）若对任意
，不等式
总成立，求实数的最大值．

（18）（本小题满分12分）

某射击比赛规则如下，开始时在距目标100米处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150米处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中还可以进行第三次射击，但此时目标已在200米处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，已知某射手在100米处击中目标的概率为
，他的命中率与目标距离的平方成反比，且各次射击都是相互独立的

（1）求这名射手在射击比赛中命中目标的概率；

（2）若这名射手在射击比赛中得分记为
，求
的分布列与数学期望．

（19）（本小题满分12分）

如图，三棱柱
中，
，
，
，
是以
为底边的等腰三角形，平面
平面
，
分别为棱
、
的中点

（1）求证：
平面
；

（2）若
为整数，且
与平面
所成的角的余弦值为
，求二面角
的余弦值．

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆
的左右焦点分别为
，上顶点为，过点与
垂直的直线交轴负半轴于点
，且
，过
三点的圆的半径为2，过定点
的直线与椭圆交于
两点（在
之间）

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线的斜率
，在轴上是否存在点
，使得以
为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出的取值范围？如果不存在，请说明理由．

（21）（本小题满分12分）

已知函数

（1）当
时，讨论函数
的单调性；

（2）是否存在实数，对任意的
，且
，有
恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，A，B，C，D四点在同一圆上，
与
的延长线交于点，点在
的延长线上．

（1）若
，求
的值；

（2）若
，证明：
．

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系
有相同的长度单位，以原点为极点，以正半轴为极轴，已知曲线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程是
（为参数，
，射线
与曲线
交于极点外的三点

（1）求证：
；

（2）当
时，
两点在曲线
上，求与的值．

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知
均为正数

（1）证明：
，并确定
如何取值时等号成立；

（2）若
，求
的最大值．

理科数学参考答案

一、选择题：1-12 BCCCA ABDDB AA

二、填空题：（13）61 （14）
（15）2 （16）3

17解（1）因为
，
，且
是递增数列，所以
，所以
，所以
......3分

因为
，所以
，所以数列
是等差数列 ......6分

（2）由（1）
，

所以
最小值总成立， ......9分

因为
，所以
或2时
最小值为12，所以最大值为12． ...12分

18解：记“第一、二、三次射击命中目标”分别为事件A，B，C，
，

则
，
......3分

（1）“该射手射中目标”为事件D，
......5分

（2）射手得分为
，则
...... 6分

，
，

，
......10 分

0

1

2

3
















...... 12分

19解（1）
，
是以
为斜边的等腰直角三角形, 取
的中点，连接
,设
，则

面
面
，且面
面
，

面
，
面

以为坐标原点，以
、
、
为
轴建立空间直角坐标系

设平面
的一个法向量为

， 又
面

面
...... 4分

（2）设平面
的一个法向量为
又

则
，
，令
，则

又

=
...... 6分

解得
或
，
为整数
...... 8分

所以
同理可求得平面
的一个法向量

=
......11分

又二面角
为锐二面角，故余弦值为
......12分

20解（1）
，
是
的中点，
，
，
过
三点的圆的圆心为
，半径为
，
，
......4分

（2）设直线的方程为

......6分

，

由于菱形对角线垂直，则
，

解得
， ......9分

即
，
， ......11分

当且仅当
时，等号成立 ......12分

21解：（1）

①当
时，
，由
得
，
得

②当
时，由
得
或
，由
得
；

③当
时，
恒成立；

④当
时，由
得
或
，由
得
；......5分

综上，当
时，
在
单调递减；在
上单调递增；

当
时，
在
和
上单调递增；在
上单调递减；

当
时，
在
上单调递增；

当
时，
在
和
上单调递增；在
上单调递减 ......6分

（2）∵
，∴
，

令
......8分

要使
，只要
在
上为增函数，即
在
上恒成立，

因此
，即

故存在实数
，对任意的
，且
，有
恒成立 ......12分

22证明：（I）
四点共圆，
，

又
，
∽
，

，
，

． ......5分

（II）
，

， 又
，

∽
，
，

又
四点共圆，
，

，
. ......10分

23解（1）设点
的极坐标分别为

∵点
在曲线
上，∴

则
=

, 所以
......5分

（2）由曲线
的参数方程知曲线
为倾斜角为且过定点
的直线，

当
时，B，C点的极坐标分别为

化为直角坐标为
，
，

∵直线斜率为
，
， ∴

直线BC的普通方程为
，

∵过点
， ∴
，解得
......10分

24（1）证明：

取等条件
......5分

（2）
=18

所以
的最大值为
，取等条件
......10分