2013届江西省吉安县二中五月第四次周考数学试卷(文理通用)

2013．05

注意事项：

1．本试卷共160分、考试用时120分钟．

2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．考试结束后，交回答题卡．

参考公式：

样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－)2，其中＝xi．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．记函数f(x)＝的定义域为A，函数g(x)＝lg(x－1)的定义域为B，则A∩B＝ ▲ ．

2．已知复数z满足(z＋1)i＝3＋5i，其中i为虚数单位，则|z|＝ ▲ ．

3．某算法的伪代码如图所示，若输出y的值为3，则

输入x的值为 ▲ ．

4．右图是7位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么

这组数据的方差是 ▲ ．

5．已知函数f (x)＝2sin(ωx＋()((＞0)的部分图象如图所示，

则ω＝ ▲ ．

6．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是 ▲ ．

7．在平面直角坐标系xOy中，已知＝(3，－1)，＝(0，2)．若·＝0，＝λ，则实数λ的值为 ▲ ．

8．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．

①若mα，m⊥β，则α⊥β； ②若m(α，α∩β＝n，α⊥β，则m⊥n；

③若mα，nβ，α∥β，则m∥n； ④若m∥α，m(β，α∩β＝n，则m∥n．

上述命题中为真命题的是 ▲ （填写所有真命题的序号）．

9．如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，

AC＝7，DC＝3，则AB的长为 ▲ ．

10．记定义在R上的函数y＝f(x)的导函数为f′(x)．如果存在x0[a，b]，使得f(b)－f(a)＝f′(x0)(b－a)成立，则称x0为函数f(x)在区间[a，b]上的“中值点”．那么函数f(x)＝x3－3x在区间[－2，2]上“中值点”的个数为 ▲ ．

11．在平面直角坐标系xOy中，点F是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长FA与另一条渐近线交于点B．若＝2，则双曲线的离心率为 ▲ ．

12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－(6－2m)x－4my＋5m2－6m＝0，直线l经过点(1，0)．若对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长为定值，则直线l的方程为 ▲ ．

13．已知数列{an}的通项公式为an＝－n＋p，数列{bn}的通项公式为bn＝2n－5．设cn＝若在数列{cn}中，c8＞cn(n∈N*，n≠8)，则实数p的取值范围是 ▲ ．

14．设点P是曲线y＝x2上的一个动点，曲线y＝x2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y＝x2的另一交点为Q，则PQ的最小值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．(本小题满分14分)

已知α，β(0，π)，且tanα＝2，cosβ＝－．

（1）求cos2α的值；

（2）求2α－β的值．

16．(本小题满分14分)

如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝AC，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点．

（1）证明：EF∥平面ABC；

（2）证明：C1E⊥平面BDE．

17．(本小题满分14分)

已知函数f(x)＝m(x－1)2－2x＋3＋lnx ，m∈R．

（1）当m＝0时，求函数f(x)的单调增区间；

（2）当m＞0时，若曲线y＝f(x)在点P(1，1)处的切线l与曲线y＝f(x)有且只有一个公共点，求实数m的值．

18．(本小题满分16分)

将一张长8cm，宽6cm的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两部分，面积分别为S1cm2，S2cm2，其中S1≤S2．记折痕长为lcm．

（1）若l＝4，求S1的最大值；

（2）若S1∶S2＝1∶2，求l的取值范围．

19．(本小题满分16分)

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： ＋＝1．

（1）若椭圆C的焦点在x轴上，求实数m的取值范围；

（2）若m＝6，

①P是椭圆C上的动点， M点的坐标为(1，0)，求PM的最小值及对应的点P的坐标；

②过椭圆C的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线l交x轴于点N，证明： 是定值，并求出这个定值．

20．(本小题满分16分)

记等差数列{an}的前n项和为Sn．

（1）求证：数列{}是等差数列；

（2）若a1＝1，且对任意正整数n，k(n＞k)，都有＋＝2成立，求数列{an}的通项公式；

（3）记bn＝a (a＞0)，求证：≤．

注意事项：

1．附加题供选考物理的考生使用．

2．本试卷共40分，考试时间30分钟．

3．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．考试结束后，交回答题卡．

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：几何证明选讲

如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，线段OP交⊙O于点C．若PA＝12，PC＝6，求AB的长．

B．选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵M ＝  对应的变换将点A(1，1)变为A' (0，2)，将曲线C：xy＝1变为曲线C'．

（1）求实数a，b的值；

（2）求曲线C' 的方程．

C．选修4—4：坐标系与参数方程

已知圆C的极坐标方程为ρ＝4cos(θ－)，点M的极坐标为(6，)，直线l过点M，且与圆C相切，求l的极坐标方程．

D．选修4—5：不等式选讲

解不等式x|x－4|－3＜0．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．(本小题满分10分)

如图，三棱锥P－ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，D，E分别为PB，PC中点．

（1）若PA＝2，求直线AE与PB所成角的余弦值；

（2）若平面ADE⊥平面PBC，求PA的长．

23．(本小题满分10分)

如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为，刚开始时，棋子在上底面点A处，若移了n次后，棋子落在上底面顶点的概率记为pn．

（1）求p1，p2的值；

（2）求证：＞．

 数学参考答案及评分标准 2013.05

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．(1，3] 2．5 3．8 4． 5． 

6． 7．2 8．①④ 9． 10．2

11．2 12．2x＋y－2＝0 13．(12，17) 14．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．解（1）方法一：

因为tanα＝2，所以＝2，即sinα＝2cosα． ………………………… 2分

又sin2α＋cos2α＝1，解得sin2α＝，cos2α＝． ………………………… 4分

所以cos2α＝cos2α－sin2α＝－． ………………………… 6分

方法二：

因为cos2α＝cos2α－sin2α ………………………… 2分

＝ ＝， ………………………… 4分

又tanα＝2，所以cos2α＝＝－． ………………………… 6分

（2）方法一：

因为α(0，π)，且tanα＝2，所以α(0，)．

又cos2α＝－＜0，故2α(，π) ，sin2α＝． ………………………… 8分

由cosβ＝－，β(0，π)，得sinβ＝，β(，π)． ………………………… 10分

所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝×(－)－(－)×＝－． ………… 12分

又2α－β(－，)，所以2α－β＝－． ………………………… 14分

方法二：

因为α(0，π)，且tanα＝2，所以α(0，)，tan2α＝＝－．

从而2α(，π)． ………………………… 8分

由cosβ＝－，β(0，π)，得sinβ＝，β(，π)，

因此tanβ＝－． ………………………… 10分

所以tan(2α－β)＝＝＝－1． ………………………… 12分

又2α－β(－，)，所以2α－β＝－． ………………………… 14分

16．证明（1）如图，取BC的中点G，连结AG，FG．

因为F为C1B的中点，所以FGC1C．

在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1AC1C，且E为A1A的中点，

所以FGEA．

所以四边形AEFG是平行四边形．

所以EF∥AG． ………………………… 4分

因为EF(平面ABC，AG(平面ABC，

所以EF∥平面ABC． ………………………… 6分

（2）因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，BD(平面ABC，

所以A1A⊥BD．

因为D为AC的中点，BA＝BC，所以BD⊥AC．

因为A1A∩AC＝A，A1A(平面A1ACC1，AC(平面A1ACC1，所以BD⊥平面A1ACC1．

因为C1E(平面A1ACC1，所以BD⊥C1E． ………………………… 9分

根据题意，可得EB＝C1E＝AB，C1B＝AB，

所以EB＋C1E＝C1B2．从而∠C1EB＝90°，即C1E⊥EB．……………………… 12分

因为BD∩EB＝B，BD (平面BDE， EB(平面BDE，

所以C1E⊥平面BDE． ………………………… 14分

17．解（1）由题意知，f(x)＝－2x＋3＋lnx，

所以f′(x)＝－2＋＝ (x＞0)． ……………………… 2分

由f′(x)＞0得x∈(0，) ．

所以函数f(x)的单调增区间为(0，)． ……………………… 4分

（2）由f′(x)＝mx－m－2＋，得f′(1)＝－1，

所以曲线y＝f(x)在点P(1，1)处的切线l的方程为y＝－x＋2．…………………… 6分

由题意得，关于x的方程f(x)＝－x＋2有且只有一个解，

即关于x的方程m(x－1)2－x＋1＋lnx＝0有且只有一个解．

令g(x)＝m(x－1)2－x＋1＋lnx(x＞0)．

则g′(x)＝m(x－1)－1＋＝＝(x＞0)． …………… 8分

①当0＜m＜1时，由g′(x)＞0得0＜x＜1或x＞，由g′(x)＜0得1＜x＜，

所以函数g(x)在(0，1)为增函数，在(1，)上为减函数，在(，＋∞)上为增函数．

又g(1)＝0，且当x→∞时，g(x)→∞，此时曲线y＝g(x)与x轴有两个交点．

故0＜m＜1不合题意． ……………………… 10分

②当m＝1时，g′(x)≥0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数，且g(1)＝0，故m＝1符合题意．

③当m＞1时，由g′(x)＞0得0＜x＜或x＞1，由g′(x)＜0得＜x＜1，

所以函数g(x)在(0，) 为增函数，在(，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．

又g(1)＝0，且当x→0时，g(x)→－∞，此时曲线y＝g(x)与x轴有两个交点．

故m＞1不合题意．

综上，实数m的值为m＝1． ……………………… 14分

18．解 如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD，AB＝8cm，AD＝6cm，其中点A在面积为S1的部分内．

折痕有下列三种情形：

①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；

②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；

③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上．

（1）在情形②、③中MN≥6，故当l＝4时，折痕必定是情形①．

设AM＝xcm，AN＝ycm，则x2＋y2＝16． ……………………… 2分

因为x2＋y2≥2xy，当且仅当x＝y时取等号，

所以S1＝xy≤4，当且仅当x＝y＝2时取等号．

即S1的最大值为4． ……………………… 5分

（2）由题意知，长方形的面积为S＝6×8＝48．

因为S1∶S2＝1∶2，S1≤S2，所以S1＝16，S2＝32．

当折痕是情形①时，设AM＝xcm，AN＝ycm，则xy＝16，即y＝．

由得≤x≤8．

所以l＝＝，≤x≤8． ……………………… 8分

设f(x)＝x2＋，x＞0，则f ′(x)＝2x－＝，x＞0．故

x



（，4）

4

（4，8）

8



f ′(x)



－

0

＋





f(x)

64

↘

64

↗

80



所以f(x)的取值范围为[64，80]，从而l的范围是[8，4]； ……………… 11分

当折痕是情形②时，设AM＝xcm，DN＝ycm，则(x＋y)×6＝16，即y＝－x．

由得0≤x≤．

所以l＝＝，0≤x≤．

所以l的范围为[6，]； ……………………… 13分

当折痕是情形③时，设BN＝xcm，AM＝ycm，则(x＋y)×8＝16，即y＝4－x．

由得0≤x≤4．

所以l＝＝，0≤x≤4．

所以l的取值范围为[8，4]．

综上，l的取值范围为[6，4]． ……………………… 16分

19．解（1）由题意得，m＞8－m＞0，解得4＜m＜8．

即实数m的取值范围是(4，8)． ……………………… 2分

（2）因为m＝6，所以椭圆C的方程为＋＝1．

①设点P坐标为（x，y），则＋＝1．

因为点M的坐标为（1，0），所以

PM2＝(x－1)2＋y2＝x2－2x＋1＋2－＝－2x＋3

＝(x－)2＋，x∈[－