2013年华师附中高三综合测试

数学（文科） 2013.5

本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第I卷（共50分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知
是虚数单位，则复数
所对应的点落在

A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2. 已知全集
，
，
，则

A．
B．
C．
D．

3．公比为2的等比数列
的各项都是正数，且
，则

A．4 B.5 C.6 D.7

4．在
中, 已知向量
,
,

则
的值为

A．
B．
C．
D．

5．一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为

A． B． C． D．

6．命题
若
，则
是
的充分而不必要条件；命题
函数
的定义域是
，则

A．“p或q”为假 B. “p且q”为真 C. p真q假 D. p假q真

7．若
，则
的取值范围是

A．[,] B． [－,] C． [－,] D． [－,]

8 在圆
上与直线
距离最小的点的坐标是( )

A.
　　B.
C.
　　　　　　　　D.

9．函数
的大致图象是 （ ）



A． B． C． D．

10．已知命题“
，
”是假命题，则实数
的取值范围是

A.
　　B.
C.
D.

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11. 双曲线
的焦距是___________.

12．已知
，则
的值为 .

13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，

则输出的结果是 .

（二）选做题（请考生在以下两个小题中任选一题做答）

14．以平面直角坐标系的原点为极点，
轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆
的极坐标方程是
，则它的圆心到直线
：
（
为参数）的距离等于 .

15．如图，已知
是⊙O外一点，
为⊙O的切线，
为切点，

割线
经过圆心
，若
，
，则⊙O的半径长为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）已知函数
的图象的一部分如下图所示.

(1)求函数
的解析式;

(2)当
时,求函数
的最大值与最小值及相应的
的值.

17. （本小题满分12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

患心肺疾病

不患心肺疾病

合计



男



5





女

10







合计





50



已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为
．

（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；

（Ⅱ）是否有
的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；

（Ⅲ）已知在不患心肺疾病的5位男性中，有3位又患胃病．现在从不患心肺疾病的5位男性中，任意选出3位进行其他方面的排查，求恰好有一位患胃病的概率．

下面的临界值表供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





（参考公式
其中
）

18．（本小题满分14分）已知
是方程
的两根, 数列
是公差为正数的等差数列，数列
的前
项和为
，且
。

(I)求数列
，
的通项公式;

(II)记
，求数列
的前
项和
；

19．（本小题满分14分）如图，
、
为圆柱
的母线，
是底面圆
的直径，
、
分别是
、
的中点．

（I）证明：
//平面
；

（II）若
，求三棱锥
的体积的最大值．?

20．（本小题满分14分）已知函数
，其中
；

（Ⅰ）若
，试确定函数
的单调区间；

（Ⅱ）若
，且对于任意
，
恒成立，试确定实数
的取值范围；

（Ⅲ）求证：当
且
时，
．

21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系
中，如图，已知椭圆
的上、下顶点分别为
、
，点
在椭圆
上且异于点
、
，直线
、
与直线
分别交于点
、
；

（I）设直线
、
的斜率分别为
，
，求证：
为定值；

（II）求线段
长的最小值；

（III）当点
运动时，以
为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

2013届华师附中高三综合测试

数学（文科）参考答案

1—10.答案：C C A C B D C A B C

11.  12.  13. 14. 15.4

16. 解:(1)由图像知A=2,=4 ( T=8= ,∴( =,得f(x)=2sin(x+( ).

由对应点得当x=1时, ×1+( = ( ( =.∴f(x)=2sin(x+ );

(2)y=2 sin(x+ )+2 sin[(x+2)+ ]=2 sin(x+ )+2cos(x+ )

=2sin(x+)=2cosx,

∵x ( [－6,－],∴x ( [－,－] ,

∴当x=－,即x=－时,y的最大值为;当x=－(,即x=－4时,y的最小值－2.

17. (Ⅰ)解：列联表补充如下

患心肺疾病

不患心肺疾病

合计



男

20

5

25



女

10

15

25



合计

30

20

50



(Ⅱ)解：因为 K 2 = ，所以 K 2≈8.333

又 P(k 2≥7.789) = 0.005 = 0.5%.

那么，我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的.

(Ⅲ)解： 记所选5人中没有患胃病的2人为A1,A2, 患胃病的3人为B1,B2, B3,则所有基本事件为:

(A1,A2,B1), (A1,A2,B2), (A1,A2,B3), (A1,B1,B2), (A1, B1,B3), (A1,B2,B3), (A2,B1,B2), (A2, B1,B3), (A2,B2,B3),(B1,B2,B3),共有10种.

设从所选5人任意选出3位进行其他方面的排查，其中恰好有一位患胃病的的事件为M，则事件M所包含的的基本事件有3个：(A1,A2,B1), (A1,A2,B2), (A1,A2,B3)

根据古典概型概率计算公式，得

18. 解：(I)由a2+a5=12,a2·a5=27.且d>0得a2=3,a5=9.

∴ d==2 ,a1=1,∴ an=2n－1

在Tn=1－bn中,令n=1得b1=,当n≥2时,Tn=1－bn ,Tn－1=1－bn－1,

两式相减得bn=bn－1－bn,∴ =(n≥2)

∴ bn=()n－1=.

(II) Cn=(2n－1)·=,

∴ Sn=2(+++…+)，=2(++…++),

∴ SN=2[+2(++…+)－]=2[+－]

=2(+－－)=－,

∴ Sn=2－.

19. （I）证明：连结EO，OA.∵ E, O分别为B1C, BC的中点，∴EO//BB1.

又DA//BB1，且DA=EO=BB1.∴四边形AOED是平行四边形，

即DE//OA, DE ( 平面ABC. ∴DE // 平面ABC..?

（II）解：设
，则三棱锥
的体积

．

又由题，
，得
，且等号当
时成立；

所以三棱锥
的体积的最大值为
。

20. 解：（Ⅰ）由
得
，所以
．

由
得
，故
的单调递增区间是
，

由
得
，故
的单调递减区间是
．

（Ⅱ）由
可知
是偶函数．

于是
对任意
成立等价于
对任意
成立．

由
得
．

①当
时，
．

此时
在
上单调递增．

故
，符合题意．

②当
时，
．

当
变化时
的变化情况如下表：





















单调递减

极小值

单调递增



由此可得，在
上，
．

依题意，
，又
．

综合①，②得，实数
的取值范围是
．

（Ⅲ）由题，
，即

记
，则
，记

则
，得

因此，
在
上递减，在