康杰中学2013年数学（文）模拟训练卷（三）

2013.5

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合
，则
（　　）

A. (-1,3)　　　　　B.
C.
　　　　　D.

2. 设复数
，其中为虚数单位，则
的虚部为（　　）

A.
　　　 B.
　　 C.
　　　 D.

3. 在
中，若
，则
的值是（　　）

A.
　　 B.
　　 C.
　 D.

4. 执行如图所示的程序框图，则输出为（　　）

A. 3 　　　　 B. 4　　　　

C. 5　　　 D. 6

5. 设平面⊥平面
，直线
命题：“∥
”；命题：“⊥”，则命题成立是命题成立的（　　）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6．右图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在
的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在
的网民出现的频率为（　　）

A. 0.04　　　　B.0.06　　　 C.0.2　　　　D.0.3

7．如图所示是一个几体体的三视图，其侧视图是一个边长为的等边三角形，俯视图是由两个等边三角形拼成的菱形，则该几何体的体积为（　　）

A.
B.

C.
D.

8．若曲线
与曲线
有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（　　）

A.
　　　　 B.
　　　　

C.
　　　 D.

9．已知等差数列
的前项和
，满足
，则
＝（　　）

A.-2014 B.-2013 C.-2012 D.-2011

10. 已知
与
的夹有为
，
与
的夹角为
，若
，则
＝（　　）

A.
B.
C.
D.2

11. 已知若
分别是双曲线
的左、右焦点，过
且垂直于的轴的直线与双曲线交于
两点，若
是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（　　）

A.
　　 B.
　　　

C.
　　　 D.

12. 若函数
，则当
时，函数
的零点个数为（　　）

A.1 B.2 C.3 D.4

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13. 已知向量
满足
，则
＝　　　　　.

14.已知函数
的定义域为
，则函数
的值域为　　　　　.

15. 向平面区域
内随机投入一点，则该点落在区域
内的概率等于　　　　.

16. 如果一个棱柱的底面是正多边形，并且侧棱与底面垂直，这样的棱柱叫做正棱柱，已知一个正六棱柱的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱柱的体积的最大值为

　　　　.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤

17. （本小题满分12分）数列
的前项和
，且
，数列
满足
且

(1)求数列
与
的通项公式.

(2)设数列
满足
，其前项和为
，求

18. （本小题满分12分）某学校为了增强学生对数学史的了解，提高学生学习数学的积极性，举行了一次数学史知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4名数学家与他们所著的4本著作一对一边线，规定：每连对一条得5分，连错一条得－2分. 某参赛者随机用4条线把数学家与著作一对一全部连接起来.

(1)求该参赛者恰好连对一条的概率.

(2)求该参赛者得分不低于6分的概率.

19. （本小题满分12分）如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，底面ABCD为菱形，AB＝1，AA1=
,∠ABC＝60°.(1)求证：AC⊥BD1.(2)求四面体D1AB1C的体积.

20.（本小题满分12分）已知：圆
过点（0，1），并且与直线
相切，则圆
的轨迹为
，过一点
作直线
，直线
与曲线
交于不同两点
，分别在
两点处作曲线
的切线
，直线
的交点为
(1)求曲线
的轨迹方程.(2)求证：直线
的交点
在一条直线上，并求出此直线方程.

21.（本小题满分12分）已知函数
的导函数为
的图像在点
处的切线方程为
，且
，又直线
是函数
的图像的一条切线(1)求函数
的解析式及
的值.(2)若
对于任意
恒成立，求的取值范围.

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图过圆外一点作一条直线与圆交于
两点，且
，作直线
与圆相切于点，连接
交
于点，已知圆的半径为2，
. (1)求
的长. (2)求证：

23.（本小题满分10分）修4-4：坐标系与参数方程选讲

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
　（为参数），以原点
为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
(1)求曲线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程. (2)设为曲线
上的动点，求点到
上点的距离的最小值，并求此时点坐标.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数

(1)求证：当
时，不等式
成立.

(2)关于的不等式
在上恒成立，求实数的最大值.

数学（文）（三）答案

1. C
，则

.故选C.

2. D
，虚部为
.故选D.

3. B. 由
可得
，即
,所以
，故选B.

4. B 初始值n=1, s=0，第1次循环后n=2, s=3；第2次循环后n=3, s=12 ；第3次循环后n=4, s=39，此时s>30，因此不进入第4次循环，输出n=4.故选B.

5. B 由题意可知
但
，则是的必要不充分条件. 故选B.

6. C 由[20, 25)的频率为0.01×5=0.05, [25, 30)的频率为0.07×5=0.35,又[35, 40), [40, 45]的人数成等差, 则其频率也成等差,又[35, 45]的频率为1-0.05-0.35=0.6, 则[35, 40)的频率为0.2. 故选C.

7．A
. 故选A.

8．D 由
可知
, 当直线
与圆
相切时,
,当m=0时, 只有两个公共点. 因此
, 故选D.

9．D
,所以
,

则

. 故选D.

10. D 应用向量加法, 三角形法则知
.

11. C 由题意可知
, 因此
,不等式两边同时除以
得:
,解得
, 又双曲线的离心率e>1, 因此
, 故选C.

12. D 结合图像分析:当
时,
,

则
, 对于
, 存在两个零点
; 对于
存在两个零点
, 共计存在4个零点. 故选D.

13.
由题意可知|b|2-2a·b=0, 又|b|=1, 则2a·b=1, 所以|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=4+1+1=6,因此|a+b|=

14.

,

因为
, 所以
, 所以
的值域为
.

15.
如图所示:落在阴影部分内的概率为
.

16. 54 设棱柱高为
, 则底面积
,

则

令
.

则

17. 解: (1)对于数列
有
①

②

由①- ②得
,

,

则
;

对于数列
有：
可得
.

(2)由(1)可知:

=

3
=

－2
=

=

则
＝

18. 解:记4名数学家分别为a,b,c,d,对应的著作分别为A,B,C,D,根据题意,不同的连线方法共对应下列24种情况:

其中恰好连对一条的情形有如下8种:

恰好连对两条的情形有如下6种:

全部连对的情形只有1种:

(1)恰好连对1条的概率为
;

(2)得分不低于6分即全部连对或恰好连对2条的概率为
.

19. 解: (1)连结BD交AC于O.

因为四边形ABCD为平行四边形,且AB=AD,所以四边形ABCD为菱形, 则AC⊥BD

由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1,所以BB1⊥平面ABCD, 可知BB1⊥AC, 又AC⊥BD，则AC⊥平面BB1D1D，又BD1平面BB1D1D，则AC⊥BD1.

(2)

=
.

20.解: (1)由定义可知C的轨迹方程为
.

(2)设
, 直线
的方程

在M处的切线方程为