试卷类型：A

湖北省部分重点中学2012－2013学年度高三五月冲刺考试

高三数学试卷（理科）

命题学校：钟祥一中 命题教师：王登清 审题教师：萧虎 蔡兴刚

考试时间：2013年5月17日下午3:00-5:00 试卷满分：150分

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、关于
的二次方程
有实根，则复数
对应的点在（ 　　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

2、命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（ ）

A、
B、

C、
D、

3、设随机变量
～
，若
，则
（ 　 ）

A、0.84 B、0.68 C、0.32 D、0.16

4、由约束条件
确定的可行域D能被半径为1的圆面完全覆盖，则实数k的取值范围为（ 　　）

A、
B、
C、
D、

5、定义：在数列
中，若满足
（
，d 为常数），称
为“等差比数列”。已知在“等差比数列”
中，
则
（ ）

A、
B、

C、
D、

6．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据.

观测次数i

1

2

3

4

5

6

7

8



观测数据ai

40

41

43

43

44

46

47

48



在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中
是这8个数据的平均数），则输出的S的值是（ 　）

A、5 B、6

C、7 D、8

7．已知
则
（ ）

A、
B、1

C、
D、

8、将甲、乙在内的7名工人分成3个小组，一组3人，另两组每组各2人，则甲乙不分在同一组的分法有（ ）

A、80 B、170 C、185 D、65

9、如图，经过AB的平面ABEF与平面ABCD成
角，经过BE的平面BENM与平面ABEF成
角，则平面BENM与平面ABCD所成二面角的余弦值为（ ）

A、
B、

C、
D、

10、对于具有相同定义域D的函数
，若存在函数
（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的
，使得当

时，总有
，则称直线
为曲线
与
的“公共渐近线”，给出定义域均为
的四组函数如下：

①
②

③
④

其中曲线
与
存在“公共渐近线”的是

（ ）

A、①②③ B、②③④ C、①②④ D、①③④

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题。每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

（一）必考题（11—14题）

11、设
，则
展开式的常数项为 　.

12、如图，一个空间几何体的三视图如图所示，其中，主视图是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为 　.

13、如图，已知双曲线
的左、右焦点为
,点P为双曲线右支上的任一点，过
作
的平分线的垂线，垂足为M，过M作
轴的垂线，垂足为N，点Q为线段MN的中点，则点Q的轨迹所在曲线方程为 　　　　

14、设
是集合
中所有的数从小到大排成的数列，即
，将数列
各项按从小到大写成如下三角形数表，用
表示数表中第i行第j个数（1
）

3

5 6

9 10 12

……………………………..

则（Ⅰ）
　 　. （Ⅱ）
　 　.

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）

15、（几何证明选做题）如右图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连DC,AB=10，AC=12，则BM= .

16、已知直线
，以直角坐标系的原点为极点，
轴的非负半轴为极轴（单位长度不变）的极坐标系中，圆的方程为
。若圆与直线相交于A、B,则以AB为直径的圆的面积为　　　 .

三、解答题。本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17、（本小题满分12分）设函数
，其中向量
，
，
.

（Ⅰ）求
的最小正周期与单调递减区间；

（Ⅱ）在
中，
、
、
分别是角
的对边，已知
，
的面积为
，求
的值.

18、（本小题满分12分）已知数列
的前
项和为
，
，若数列
是公比为
的等比数列．

（Ⅰ）求数列
的通项公式
；

（Ⅱ）设
，
，求数列
的前
项和
．

19、（本小题满分12分）

某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立．根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为
，
，
，第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为
，
，
。

（Ⅰ）求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格，而乙不合格的概率；

（Ⅱ）分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格入选的概率；

（Ⅲ）设经过前后两次选拔后合格入选的人数为
，求
的分布列和
．

20、(本小题满分12分)

如右图，简单组合体ABCDPE，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC.

（Ⅰ）若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB；

（Ⅱ）若＝，求平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的大小.

21、（本小题满分13分）

已知椭圆
的左右焦点分别是
，直线
与椭圆
交于两点
且当
时，M是椭圆
的上顶点，且△
的周长为6.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设椭圆
的左顶点为A，直线
与直线：

分别相交于点
，问当
变化时，以线段
为直径的圆被
轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由.

22、（本题满分14分）

已知

（Ⅰ）求
的极值，并证明：

若
有

（Ⅱ）设λ1，λ2＞0，且λ1＋λ2＝1，x1＞0，x2＞0，证明：
。

若
，（i＝1，2，…n），由上述结论猜想一个一般性结论（不需证明）。

（Ⅲ）证明：若
（i＝1，2，…n），则
≥

钟祥一中2013届高三五月适应性考试（三）

数学（理科）试题参考答案

一、DCBDA CDABA

二、11、160 12、
13、
（若给出了
的范围也给分）

14、（1）160 （2）
15、5 16、

三、17.解：(Ⅰ)

　　　……（3分)

令

　　　　　　　　　　………(6分)

（Ⅱ）由
，
，在
中，

∵

　　……(8分)

又∵
　解得　
　　　　……(9分)

∴在
中，由余弦定理得：

　……(10分)

由
……(11分)
…(12分)

18、解：(Ⅰ)
，
，

当
时，
，且
，
，

所以数列
的通项公式为
．…………………………6分

(Ⅱ)

．……………12分

19. 解：（Ⅰ）分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件
、
；

设
表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，则

……………………………（3分）

（Ⅱ）分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格入选为事件A、B、C； 则：

，
，
，…（6分）

（Ⅲ）经过前后两次选拔后合格入选的人数为
，则
、
、
、
．

则，
，

，

，

，

0

1

2

3



p

0.392

0.434

0.156

0.018



则，
…………（12分）

20、解：(1)证法1：连结AC与BD交于点F，连结NF，

∵F为BD的中点，∴NF∥PD且NF＝PD.

又EC∥PD，且EC＝PD，(2分)

∴NF∥EC，且NF＝EC，∴四边形NFCE为平行四边形，∴NE∥FC.(4分)

∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC?面ABCD，∴AC⊥PD.

又PD∩BD＝D，∴AC⊥面PBD，∴NE⊥面PDB.(6分)

证法2：以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示：设该简单组合体的底面边长为1，PD＝a，

则B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0，a)，E(0,1，)，N(，，)，

∴＝(，－，0)，＝(1,1，－a)，＝(1,1,0).

∵·＝×1－×1－a×0＝0，·＝×1－×1＋0×0＝0，

∴EN⊥PB，EN⊥DB.∵PB、DB?面PDB，且PB∩DB＝B，∴NE⊥面PDB.(6分)

(2)解法1：连结DN，由(1)知NE⊥面PDB，∴DN⊥NE.

∵＝，DB＝AD，∴PD＝DB，∴DN⊥PB，∴为平面PBE的法向量.

设AD＝1，则N(，，)，∴＝(，，).

∵为平面ABCD的法向量，＝(0,0，)，(10分)

设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ，则cosθ＝＝＝，

∴θ＝45°，即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)

解法2：延长PE与DC的延长线交于点G，连结GB，

则GB为平面PBE与平面ABCD的交线.(8分)

∵PD＝2EC，∴CD＝CG＝CB，

∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上，

∴DB⊥BG.(9分)

∵PD⊥平面ABCD，BG?面ABCD，∴PD⊥BG，且PD∩DB＝D，∴BG⊥面PDB.

∵PB?面PDB，∴BG⊥PB，∴∠PBD为平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的平面角.(10分)

在Rt△PDB中，∵PD＝DB，

∴∠PBD＝45°，即平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角为45°.(12分)

21.解：（1）当
时，直线的倾斜角为
，所以：
…………3分

解得：
，……5分 所以椭圆方程是：
；……6分

（2）当
时，直线
的方程为：
，此时，M,N点的坐标分别是
，又
点坐标是（-2,0），由图可以得到P,Q两点坐标分别是（4,3），（4，-3），以PQ为直径的圆过右焦点，被
轴截得的弦长为6，猜测当
变化时，以PQ为直径的圆恒过焦点
，被
轴截得的弦长为定值6，………………………………………………………………8分

证明如下：设点M,N点的坐标分别是
，则直线
的方程是：
，

所以点
的坐标是
，同理，点
的坐标是
，…………………9