温岭中学2013届高三冲刺模拟考试数学（理）试题

本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分, 考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2.每小题选出后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。

选择题部分（共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设
R，
，
，则

A．
或
　　　B．
　　　C．
　　 D．

2．函数
的最小正周期为

A．
B．
C．
D．

3．执行如图所示的程序框图，输出的S值为

A．-1　　　　　　　　B．3　　　　　　　

C．
　　　　　 D．-5

4．下列命题错误的是

A．若
，
，则

B．若
，则
，

C．若
，
，且
，则

D．若
，且
，则
，

5．已知等比数列
前n项和为
，则“
”是“
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知约束条件
若目标函数z=x＋ay (
)仅在点(2, 2)处取得最大值，则a的取值范围为

A.
B.
C.
D.

7．一个口袋中有编号分别为0，1，2的小球各2个，从这6个球中任取2个，则取出2个球的编号数和的期望为

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5

8．正方形ABCD沿对角线BD将
折起，使A点至P点，连PC．已知二面角
的大小为
，则下列结论错误的是

A．若
，则直线PB与平面BCD所成角大小为

B．若直线PB与平面BCD所成角大小为
，则

C．若
，则直线BD与PC所成角大小为

D．若直线BD与PC所成角大小为
，则

9．如图，已知点P是双曲线C：
左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M，N

两点，点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是

A．
　 B．2

C．
　 D．

10．已知函数
，
．已知当
时，函数

所有零点和为9．则当
时，函数
所有零点和为

A．15 　 B．12 C．9 D．与k的取值有关

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．已知
R，复数
为纯虚数（i为虚数单位），

则
　　 ．

12．某几何体的三视图及相应尺寸（单位：
）如图所示，则

该几何体的体积为___________．

13．已知
，若
，则
的值为 ．

14．P为抛物线C：
上一点，若P点到抛物线C准线的距离与到顶点距离相等，则P点到x轴的距离为_____________．

15．已知函数
，若
对任意
R恒成立，则实数a的取值范围为　　　　　　．

16．在
中，
，若
是
所在平面内一点，且
，则
的最大值为　　　　　　．

17．平面直角坐标系中，过原点斜率为k的直线与曲线
e
交于不同的A，B两点．分别过点A，B作
轴的平行线，与曲线
交于点C，D，则直线CD的斜率为_____

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.(本题满分14分)

在
中，角
所对的边分别为
，且A、B、C成等差数列。

(Ⅰ) 若
，求角A、B、C的大小；

(Ⅱ) 当
为锐角三角形时，求
的取值范围。

19 （本题满分14分）

一个口袋中装有大小形状完全相同的
张卡片，其中一张卡片上标有数字1，二张卡片上标有数字2，其余n张卡片上均标有数字3（
）， 若从这个口袋中随机地抽出二张卡片，恰有一张卡片上标有数字2的概率是
，

(Ⅰ)求n的值

(Ⅱ) 从口袋中随机地抽出2张卡片，设ξ表示抽得二张卡片所标的数字之和，求ξ的分布列和关于ξ的数学期望Eξ

20.(本题满分14分)

如图：四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，
，平面PAB
ABD，AP=2AD=4，PD=
，E为AD的中点，F为PB的中点。

(Ⅰ) 求证：EF‖平面PCD；

(Ⅱ) 当二面角A-PD-B的余弦值为
时，求AB的长。

21.(本题满分15分）

以抛物线
（
）的顶点O为圆心的圆，截该抛物线的准线所得的弦长为

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）过圆C上任一点M作该圆的切线
，它与椭圆
（
，且
）相交于A、B两点，当
时，求
的可能取值范围。

22.(本题满分15分)

已知函数

，它的一个极值点是

（Ⅰ）求m的值及
在
上的值域；

（Ⅱ）设函数
，求证：函数
与
的图象在
上没有公共点。

数学 理科答案

7．C．记取出2个球的编号数和为X，则X=0, 1, 2, 3, 4．又
，
，
，
，
．　∴
．

8．D．由于
平面PAC，∴
任意取值直线BD与PC所成角大小均为
．

9．A．
得，
，∴
，得
，从而
．

　　∵P是双曲线上，∴
，化简得，
，得
．

10．A．如图，函数
与
图象均点过的
，且均关于点
对称．∴
零点关于
“对称”，∵当
时，
所有零点和为9，∴此时，函数
与
图象有三个公共点，此时，
，得
．当
时，
且
，∴
有5个零点
，且
．

11．1；

12．
；

13．
；
，

14．
；得P点到焦点距离与到顶点距离相等，∴
，得
．

15．
；函数
是R上的增函数，得
对任意
R恒成立．

16．
；设D为BC中点，则

，

由
得，

，

∴当
与
同向时
最大，最大值为
，∴
最大值
．

17．1；设A，B横坐标分别为
，
．则
，
，得
，即
，同理
．

直线CD的斜率为
．

19 （本题满分14分）

解(Ⅰ)。由题设
，即
，解得

(Ⅱ) ξ取值为3，4，5，6.

则
；
；

；

ξ的分布列为：

∴Eξ=

20.(本题满分14分)

证明(Ⅰ) ：如图，设G为PC的中点，因为F为PB的中点，所以FG║BC║ED，又 E为AD的中点，由已知得：FG=ED=1，所以四边形EFGD为平行四边形。所以EF║GD，因为EF
平面PCD，GD
平面PCD，所以EF‖平面PCD；

(Ⅱ)解 在
中，AD=2，PA=4，PD=
，满足
，所以
，即
（1），在底面ABCD中，过点D作
，H为垂足，因为平面
，由面面垂直的性质可知：
平面PAB，所以
（2），由（1）（2）可得：
平面ADH，即
底面ABCD。以H为坐标原点，以AB所在直线为x轴，HD所在直线为y轴建立空间直角坐标系，则P（-1，0，4），A（-1，0，0），D（0，
，0）设B（
，0，0），这样可得：
，
，
，设平面PAD的法向量为
，则
， 取
，又设平面PBD的法向量为
，则
，取

由题设
，整理得
：由此可求得
或
（不合题意，舍去）所以AB=
，故当二面角A-PD-B的余弦值为
时，AB的长为
。

(注：本题也可用几何法解答，过程略)

21.(本题满分15分）

解（Ⅰ）：已知抛物线的准线方程是
（
），由于圆C截抛物线的准线所得的弦长为
，所以圆C的半径
，故所求圆的方程是

22.(本题满分15分)

解（Ⅰ）：令
，由题设，
满足方程，由此解得：
或
。

（1）当
时，分析可知：
在
上是减函数；在
上是增函数；

由此可求得，故 当
时，
的值域为
。

（2）当
时，同样可得：
在
上是减函数；在
上是增函数，当
时，
的值域为
。

解（Ⅱ）