（时间：120分钟 满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号在答题卡上填涂。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 如果集合
,那么

A.
B.
C.
D.

2．若复数
，其中是虚数单位，则复数的模为

A.
B.
C.
D. 2

3．在正方体
中，
，分别是
，
的中点，则下列判断错误的是

A．
与
垂直　　 　 B．
与
垂直

C．
与
平行　　　 　 D．
与
平行

4．函数
的最小正周期是

A．
B. C．
D．

5. 左图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记

为
右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法

流程图输出的结果是

7 9

8 6 3 8

9 3 9 8 8 4 1 5

10 3 1

11 4

A． B． C． D．

6. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是

由一个半圆与其直径组成的图形，则此几

何体的体积是

A．
B．

C．
D．

7．给出以下命题：

（1）“
”是“直线
垂直”的充分不必要条件；

（2）若
为假命题，则、均为假命题；

（3）设
为等比数列
的前项和，
，则

；

（4）根据一组样本数据
的散点图分析存在线性相关关系，求得其回归方程
，则在样本点
处的残差为
.

其中是真命题的个数是

8．从甲、乙等
名志愿者中选出名，分别从事，，
，四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事工作，则不同的工作分配方案共有



A．
种

B．
种

C．
种

D．
种



9．已知
,点
在
内,
,

若
,则

A． B． C．
D．

10. 函数

的

部分图象如图所示，则

A． B．
C. D.

11. 已知抛物线
的焦点到准线的距离为
, 且
上的两点
关于直线
对称, 并且
, 那么=

A.
B.
C. 2 D. 3

12．已知函数
，把函数
的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和
,则
＝

A．15 B．22 C．45 D． 55

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡的相应位置上。）

13．已知
，则
展开式中的常数项为_________。

14. 已知双曲线
的中心在原点，焦点在坐标轴上，
是
上的点，且

是
的一条渐近线，则双曲线
的方程为_________。

15．已知平面区域Ω=
，直线
:
和曲线
:
有两个不同的交点，直线
与曲线
围成的平面区域为
，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域
内的概率为
，若
，则实数的取值范围是_________。

16．已知ΔABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c，若a = 1, 2cosC + c = 2b，则ΔABC的周长的取值范围是__________。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知数列
的前项和为
, 满足
, 且
.

(Ⅰ) 令
, 证明:
；

(Ⅱ) 求
的通项公式.

18．（本小题满分12分）

某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图中的信息，回答下列问题．

(Ⅰ)求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；

(Ⅱ)根据频率分布直方图，估计本次考试的平均分；

(Ⅲ)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，抽到的学生成绩

在[70，100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望。

19．（本小题满分12分）

如图,三棱柱ABC—A1B1C1中, 侧棱与底面垂直，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，M是BC中点。

(Ⅰ)求证：A1B∥平面AMC1；

(Ⅱ)求直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值；

（Ⅲ）试问：在棱A1B1上是否存在点N，使AN与MC1成角60°？若存在，确定点N的位

置；若不存在，请说明理由。

20．（本小题满分12分）

已知椭圆

的两个焦点分别为
，
，离心率为
，过
的直线
与椭圆
交于
，
两点，且△
的周长为
．

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)过原点
的两条互相垂直的射线与椭圆
分别交于，两点，证明：点
到直线
的距离为定值，并求出这个定值．

21．（本小题满分12分）

已知函数
，为正常数．

(Ⅰ)若
，且
，求函数
的单调增区间；

(Ⅱ) 若
，且对任意
，
，都有
，

求的取值范围．

四、选做题（本小题满分10分．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑）

22．选修4-1：几何证明选讲

如图△
为直角三角形，
，以
为直径的

圆交
于点，点是
边的中点，连
交圆
于点
，

连接
、
．

（Ⅰ）求证：
、、、四点共圆；

（Ⅱ）设
，
，求
的长．

23．选修4-4：坐标系与参数方程

设圆
的极坐标方程为
，以极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴，两坐标系长度单位一致，建立平面直角坐标系．过圆
上的一点
作垂直于轴的直线
，设
与轴交于点
，向量
．

（Ⅰ）求动点
的轨迹方程；

（Ⅱ）设点
，求
的最小值．

24．选修4-5：不等式选讲

已知
．

（Ⅰ）解不等式
；

（Ⅱ）对于任意的
，不等式
恒成立，求的取值范围．

琼海市2013年高考模拟测试

数学（理）参考答案及评分标准

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

B

D

A

D

C

C

B

D

A

A

C



二、填空题：

18. 解：（Ⅰ）设分数在
内的频率为x，根据频率分布直方图，

则有
，可得x=0.3.

所以频率分布直方图如图所示：

……………4分

（Ⅱ）平均分为：

……6分

（Ⅲ）学生成绩在[40,70)的有0.4×60=24人，在[70,100]的有0.6×60=36人，

且X的可能取值是0，1，2．

则
，
，
=
．

所以X的分布列为：

X

0

1

2



P











所以EX＝0×
＋1×
＋2×
＝
=
． ……………12分

19. 解：（Ⅰ）连接
交
于,连接
.

在三角形
中，
是三角形
的中位线，

所以
∥
,

又因
平面
，
平面

所以
∥平面
. ……………4分

（Ⅱ）（法一）设直线
与平面
所成角为，

点到平面
的距离为
，不妨设
，则
，

因为
,
，

所以
. ……………5分

因为
，

所以
,
.

.

，
，
. ……………8分

（法二）如图以
所在的直线为轴, 以
所在

的直线为轴, 以
所在的直线为轴，以
的长度为单位长度建立空间直角坐标系.

则
,
,
,
，
,
,
.设直线
与平面
所成角为，平面
的法向量为
.则有
,
,
，

令
,得
，

∴
. ……………8分

（Ⅲ）假设直线
上存在点，使
与
成角为
.

设
，则
，
.

，

或
（舍去），

故
.所以在棱
上存在棱
的中点，使
与
成角
. ········ 12分

20解：（I）由题意知，
，所以
．

因为

所以
，

所以
．

所以椭圆
的方程为
． ·············4分

（II）由题意,当直线
的斜率不存在，此时可设
，
.

又，两点在椭圆
上，

所以
，
．

所以点
到直线
的距离
．

当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
．

由
消去得

．

由已知
．得：

设
，
．则：