武昌区2013届高三年级五月供题训练

文 科 数 学 试 卷

本试题卷共5页，共22题．满分150分．考试用时120分钟．

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
，
，则
等于

A．
B．
C．
D．

2．已知
，复数
，则
=

A．1 B．
C．
D．

3．某程序框图如图所示，若输入的
为
，则输出的

的值分别为

A．

B．

C．

D．

4．已知指数函数

、对数函数

和幂函数
的图象都经过点
，如果
，那么，

A．
B．
C．
D．

5．函数
的图象如图所示，则导函

数
的图象的大致形状是

6．设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，给出下列条件，能得到
的是

A．
B．
C．
D．

7．如图，已知三棱锥的俯视图是边长为2的正

三角形，侧视图是有一直角边长为2的直角

三角形，则该三棱锥的正视图可能为

8．如图，在
中，
，
，
，

C 、D分别是线段OB和AB的中点，那么

A．
B．
C．
D．

9．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，

则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是

A．
B．
C．
D．

10．已知椭圆C：
（a>b>0）的离心率为
，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B两点．若
，则k =

A．1 B．
C．
D．2

二、填空题：本大题共5小题，每小题7分，共35分，请将答案填在答题卡对应题号的

位置上．

11．若命题“存在实数x，使x2+ax+1<0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为 ．

12．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第
个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 （用
表示）．

13．已知直线
在
轴、
轴上的截距分别是
和

，

且经过点
，则
的最小值为 ．

14．某校高三年级有
名同学，将他们的身高（单

位：cm）数据绘制成频率分布直方图（如图），

现用分层抽样的方法选取
名学生参加某项课

外活动，已知从身高在
的学生中选取

9人，则
= ．

15．已知数列
是等差数列，首项
，公差
，前n项和为
；数列
是等比数列，首项
，公比
，前n项和为
.如果从第
项开始，对所有的
都有
，则
．

16．已知函数
，
，给出以下说法：

①函数
的图像的对称轴是
；

②点
是函数
的图像的一个对称中心；

③函数
在区间
上的最大值是
；

④将函数
的图像向右平移
个单位，得到函数
的图象．

其中正确说法的序号是 ．

17．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染指数量
与时间
h间的关系为
．如果在前5个小时消除了10
的污染物，则10小时后还剩__________
的污染物．

三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18．(本小题满分12分)

在
中，边
、
、
分别是角
、
、
的对边，且满足
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
，
，求边
，
的值．

19．（本小题满分12分）

为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况，对他们的7次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出如下的茎叶图，其中
处的数字模糊不清．已知甲同学成绩的中位数是83，乙同学成绩的平均分是86分．

（Ⅰ）求
和
的值；

（Ⅱ）现从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，求恰抽到一份甲同学试卷的概率．

20．（本小题满分13分）

如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．

（Ⅰ）求异面直线DC1和BB1所成的角；

（Ⅱ）证明：平面BDC1⊥平面BDC．

21．（本小题满分14分）

已知直角坐标平面内一动点
到点
的距离与直线
的距离相等．

（Ⅰ）求动点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）过点
（
）作斜率为
的直线与曲线
相交于
两点，若
为钝角，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）过点
（
）作直线与曲线
相交于
两点，问：是否存在一条垂直于
轴的直线与以线段
为直径的圆始终相切？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

22．(本大题满分14分)

若函数
满足：在定义域内存在实数
，使
(k为常数)，则称“f（x）关于k可线性分解”．

（Ⅰ）函数
是否关于1可线性分解?请说明理由；

（Ⅱ）已知函数

关于
可线性分解，求
的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当
取最小整数时，求
的单调区间，并证明不等式：

．武昌区2013届高三年级五月供题训练

文科数学试题参考答案及评分细则

一、选择题：

1．D 2．A 3．C 4．D 5．D 6．D 7．C 8．B 9．C 10．B

二、填空题：

11．
12．
13．9 14．30 15．7 16．②④ 17．81

三、解答题：

18．解:（Ⅰ）由正弦定理和
，得

，

化简，得
，

即
，

故
．

因为sinA≠0，

所以
． ………………………………………………………6分

（Ⅱ）因为
，

所以
．

所以
，即
． ①

又因为
，

整理，得
． ②

联立①②
，

解得
或
………………………………………………………12分

19．解:（Ⅰ）
甲同学成绩的中位数是83，

．

乙同学的平均分是86分，

，

．…………………………… 6分

（Ⅱ）甲同学成绩在［90，100］之间的试卷有二份，分别记为
，
，

乙同学成绩在［90，100］之间的试卷有三份，分别记为
，
，
，

“从这五份试卷中随机抽取两份试卷”的所有可能结果为：

，
，
，
，
，
，
，
，
，共有10种情况．

记“从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份，恰抽到一份甲同学试卷”为事件
，则事件
包含的基本事件为：

，
，
，
，
，共有6种情况．

则
，

答：从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，恰抽到一份甲同学试卷的概率为
．……………………………………………………12分

20．解:（Ⅰ）由题设知AA1//BB1，

所以异面直线DC1和BB1所成的角为
．

因为侧棱垂直底面，

．

又AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，

是等腰直角三角形．

．

所以，异面直线DC1和BB1所成的角为
． ………………………………………6分

（Ⅱ）由题设知BC⊥
，BC⊥AC，
，

∴
面
．

又∵

面
，

∴
．

由题设知
，

∴
=
，即
．

又∵
，

∴
⊥面
．

∵

面
，

∴面
⊥面
．…………………………………………13分

21．解：（Ⅰ）由抛物线的定义，知所求P点的轨迹是以
为焦点，直线
为准线的抛物线．其方程为
，其中
，
．

所以，动点P的轨迹C的方程为
．………………………………………4分

（Ⅱ）由题意知，直线AB的方程为
．

代入
，得
．

设
，则
．

为钝角，
．

又
，
，

．

即
，

．

因此
，

．

综上，实数
的取值范围是
．…………………8分

（Ⅲ）设过点
的直线方程为
，代入
，得

．设
，则
，
．

于是
．

的中点坐标为
．

又

．

设存在直线
满足条件，则

．

化简，得
．

所以，
对任意的
恒成立，

所以
解得
，
．

所以，当
时，存在直线
与以线段
为直径的圆始终相切．……13分

22．解：（Ⅰ）函数
的定义域是R，若是关于1可线性分解，

则定义域内存在实数
，使得
．

构造函数

．

∵
，
且
在
上是连续的，

∴
在
上至少存在一个零点．

即存在
，使
． …………………………… 4分

另解：函数
关于1可线性分解，

由
，得
．

即
．

作函数
与
的图象，

由图象可以看出，存在
R，使
，

即
)成立．………………………………………… 4分

（Ⅱ）
的定义域为
．

由已知，存在
，使
．

即
．

整理，得
，即
．

∴
，所以
．

由
且
，得
．

∴a的取值范围是
． ………………………………………… 10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a =1，
，
．

当
时，
，∴g (x)的单调递增区间是
；

当
，
，∴g (x)的单调递减区间是
．

因此x∈(0，＋∞)时，
的最大值为
，所以
，

即
，
．

由此，得

，

，

，

…

．

以上各式相加，得
，

即
．

∴
，

，

所以，

．……………………………14分