武昌区2013届高三年级五月供题训练

理 科 数 学 试 卷

本试题卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题．满分150分．考试用时120分钟．

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数
在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．下列命题中错误的是

A．命题“若
，则
”的逆否命题是“若
，则
”

B．若
，则“
”是“
”成立的充要条件

C．已知命题
和
，若
为假命题，则命题
和
中必一真一假

D．对命题
：
，使得
，则
：
，则

3．已知函数

的最小正周期为
，为了得到函数

的图象，只要将
的图象

A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度

4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则

判断框中应填

A．

B．

C．

D．

5．设
满足约束条件
若目标函数

的最大值是12，则

的最小值是

A．
B．
C．
D．

6．在
中，
，
，
，D、C分别是线段AB和OB的中点，则

A．
B．
C．
D．

7．如图，已知三棱锥的俯视图是边长为2的正三角形，

侧视图是有一直角边长为2的直角三角形，则该三

棱锥的正视图可能为

8．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是

A．
B．
C．
D．

9．设点
是双曲线
右支上一动点，
分别是圆
和
上的动点，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

10．
是定义在
上的函数，对于
，有
成立，且当
时，
．给出下列命题：

①
； ②函数
是偶函数；

③函数
只有一个零点； ④
．

其中正确命题的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

(一)必考题（11—14题）

11．已知函数
则
=__________．

12．若
的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则它的第4项系数是________．

13．如图是斯特林数三角阵表，表中第
行每一个

数等于它左肩上的数加上右肩上的数的
倍，

则此表中：

（Ⅰ）第6行的第二个数是______________；

（Ⅱ）第
行的第二个数是___________．

（用
表示）

14．已知直角三角形
的三内角
，
，
的对边分别为
，
，
，且不等式

恒成立，则实数
的最大值是___________．

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑． 如果全选，则按第15题作答结果计分．）

15．（选修4—1：几何证明选讲）

如图，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2，C为

OA的中点，连结BC并延长交圆O于点D，则CD= ．

16．（选修4—4：坐标系与参数方程）

已知直线
的参数方程为
(
为参数)，以坐标原点为

极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程

为
．设直线
与曲线C交于
，
两点，则
= ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知函数
（
）在
处取最小值．

（Ⅰ）求φ的值；

（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a＝1，b＝，f(A)＝，求角C．

18．（本小题满分12分）

某车站每天上午安排A、B两种型号的客车运送旅客，A型车发车时刻可能是8：00，8：20，8：40；B型车发车时刻可能是9：00，9：20， 9：40．两种型号的车发车时刻是相互独立的．下表是该车站最近100天发车时刻统计频率表：

频 数

频 率



A型车8：00发车

25

0．25



A型车8：20发车

m

0．50



A型车8：40发车

25

0．25



B型车9：00发车

25

0．25



B型车9：20发车

50

0．50



B型车9：40发车

25

n



（Ⅰ）直接写出表中的m，n的值；

（Ⅱ）某旅客8：10到达车站乘车，根据上表反映出的客车发车规律，

（ⅰ）求该旅客能乘上A型客车的概率；

（ⅱ）求该旅客候车时间
（单位：分钟）的分布列和数学期望．

（注：将频率视为概率）

19．（本小题满分12分）

已知数列
是公差不为零的等差数列，
，且
，
，
成等比数列．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
(
），问:是否存在非零整数
，使数列
为递增数列．

20．（本小题满分12分）

如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1，BC的中点，点P在线段A1B1上．

（Ⅰ）证明：AM⊥PN；

（Ⅱ）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30o，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分13分）

已知平面内一动点
到椭圆
的右焦点
的距离与到直线
的距离相等．

（Ⅰ）求动点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）过点
（
）作倾斜角为
的直线与曲线
相交于
，
两点，若点
始终在以线段
为直径的圆内，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）过点
（
）作直线与曲线
相交于
，
两点，问：是否存在一条垂直于
轴的直线与以线段
为直径的圆始终相切？若存在，求出所有
的值；若不存在，请说明理由﹒

22．（本小题满分14分）

设函数
．

（Ⅰ）求函数
的最小值；

（Ⅱ）设
且
证明：

；

（Ⅲ）设
，
，且
，如果

，证明：
．武昌区2013届高三年级五月供题训练

理科数学参考答案及评分细则

一、选择题：

1．D 2．C 3．B 4．D 5．D 6．B 7．C 8．C 9．A 10．C

二、填空题：

11．
12．
13．274；

14．
15．
16． 0

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解：（Ⅰ）f(x)＝2sinx·＋cosxsinφ－sinx

＝sinx＋sinxcosφ＋cosxsinφ－sinx＝sinxcosφ＋cosxsinφ＝sin(x＋φ)．

∵f(x)在x＝π处取最小值，

∴sin(π＋φ)＝－1，∴sinφ＝1，

∵0＜φ＜π，∴φ＝． ………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），知f(x)＝sin(x＋)＝cosx．

由f(A)＝，得cosA＝．

∵角A是△ABC的内角，∴A＝．

由正弦定理＝，得＝，∴sinB＝．

∵b＞a，∴B＝，或B＝．

当B＝时，C＝π－A－B＝π－－＝；

当B＝时，C＝π－A－B＝π－－＝．

故C＝，或C＝． ………………………………12分

18．解：（Ⅰ）m=50，n=0．25． ………………………………2分

（Ⅱ）（ⅰ）设某旅客8：20，8：40乘上车事件分别为A，B，则A，B互斥．

． …………………………………5分

（ⅱ）可能取值为
，则

，
，
，

，
．

的分布列是



30

























．…………………12分

19．解：（Ⅰ）设公差为
（d≠0），

由题意，知
，
．

于是

解得
．

．………………………………………………………4分

（Ⅱ）∵
，

∴
．

要使数列
为递增数列，则
(
）恒成立．

∴
恒成立，

∴
恒成立，

∴
恒成立．

（ⅰ）当
为奇数时，即
恒成立，

当且仅当
时，
有最小值为1，

∴
．

（ⅱ）当
为偶数时，即
恒成立，当且仅当
时，
有最大值
，

∴
．

即
，又
为非零整数，则
．

综上所述，存在
，使数列
为递增数列．…………………………………12分

20．解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则

，
，
，
．

由题意，可设
．

（Ⅰ）∵
，
，

．

∴ AM⊥PN．………………………6分

（Ⅱ）设
是平面PMN的一个法向量，
，

则

即
得

令x=3，得y=1+2
，z=2-2
，

∴
．

若存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30o，

则|cos<
>|=
．

化简得
．

∵△＝100-4
4
13＝-108<0，方程无解．

∴不存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30o．……………12分

21．解：（Ⅰ）易知椭圆的右焦点坐标为
．

由抛物线的定义，知P点的轨迹是以
为焦点，直线
为准线的抛物线．

所以，动点P的轨迹C的方程为
． ……………………………………4分

（Ⅱ）由题意知，直线AB的方程为
．

代入
，得
．

设
，则
．

因为点
始终在以线段
为直径的圆内，

为钝角．

又
，
，

，
．

即
，

．

因此
，

．

综上，实数
的取值范围是
．

（Ⅲ）设过点
的直线方程为
，代入
，得

．设
，则
，
．

于是
．

的中点坐标为