河南开封市2013届高三第四次模拟

数学（文）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）一（24）题为选考题。其他题为必考题。考生作答时。将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后。将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前。考生务必先将自己的姓名。准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号。并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上o

2．选择题答案使用2B铅笔填涂。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用05毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写。字体工整。笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答。并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：

样本数据
的标准差；

为样本平均数；

柱体体积公式：
、h为高；

锥体体积公式：
为高；

球的表面积、体积公式：
其中R为球的半径。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数
（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为

A．4 B．一4 C．1 D．一1

2．已知集合A={0，1，2}，集合B=
，则A
B=

A．{0} B．{2} C．{0，2} D．{1，4}

3．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为
，它的三视图中

的俯视图如图所示．左视图是一个矩形．则这个矩形的面积是

A．4 B．

C．2 D．

4．设函数
的图像关于直线x=
对称，它的周期是，则

A．
的图象过点（0，
） B．
在[
]上是减函数

C．
的图像一个对称中心是（
） D．
的最大值是4

5．已知圆
，则以点P(1，1)为中点的弦所在直线方程为

A．x+y一2=0 B．y一1=0

C．x—y=0 D．x+3y—4=0

6．某程序的流程图如图所示，若使输出的结果不大于38，则输入的

整数；i的最大值为

A．4 B．5

C．6 D．7

7．已知△ABC，C=45°，则

A．
B．

C．
D．

8．已知双曲线
（a>0，b>0）的右焦点F（c，0），直线x=
与其渐近线交于A，B两点，且△ABF为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是

A．（
，+∞） B．（1，
） C．（1，
） D．（
，+∞）

9．若
的夹角为

A．30° B．60° C．120° D．150°

10．若点

A．
B．—2 C．—
D．

11．点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=
，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为
，则这个球的表面积为

A．
B．8 C．
D．

12．已知函数
在R上可导，下列四个选项中正确的是

A．若
>
对x∈R恒成立，则ef(1)

B．若
<
对x∈R恒成立，则e2f(一1)>f(1)

C．若
+
>0对x∈R恒成立，则ef(2)

D．若
+
<0对x∈R恒成立，则f(一1)>e2f(1)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第（1 3）题～第（21）题为必考题。每个试题考生都必须做答．第(22）题～第（24）题为选考题。考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．实数x，y满足条件
的最小值为 ．

14．已知以F为焦点的抛物线
x上的两点A、B满足

，则弦AB的中点到准线的距离为 ．

15．已知函数
，其中a，b∈[o，2]，则此函数在[1，+∞)上递增的概率为 ．

16．若a>1，设函数厂
的零点为m，g(x)=log2x+x—4的零点为n，则
的取值范围是 ．

三、解答题：解答应写出文字说明。证明过程和演算步骤

17．（本小题满分12分）

已知公差不为0的等差数列{
}的首项
成等比数列．

（I）求数列{
}的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足
，求数列{
}的前行项和
．

18．（本小题满分12分）

为预防某种流感病毒爆发，生物技术科研所研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90％，则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本务成三组，测试结果如下表：

已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0．33．

(I)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个?

(Ⅱ)已知b≥465，c≥30，求通过测试的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB=2，BC=
，PC=
．E、H分别为PA、AB的中点。

（I）求证：PH⊥AC；

（Ⅱ）求三棱锥P—EHD的体积．

20．（本小题满分12分）

已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为
的椭圆过点(
)．

(I)求椭圆的方程；

（Ⅱ）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，

直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积

的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知函数

（I）讨论函数
在定义域上的单调性；

（Ⅱ）若函数
的图像有两个不同的交点，求口的取值范围．

22．（本小题满分10分）选修4--1．：平面几何

已知．AB为半圆O的直径， AB=4，C为半圆上一点，过

点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交圆

于点E，DE=1．

（I）求证：AC平分∠BAD；

（Ⅱ）求BC的长．

23．（本小题满分10分）选修4--4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（t为参数），直线l与曲线C：（y一2）2一
=1交于A，B两点

（I）求|AB|的长；

（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为（
）求点P到线段AB中点M的距离．

24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

已知关于x的不等式

（I）若a=1，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式的解集为R，求a的取值范围．