（时间：120分钟 满分：150分）

命题教师：邢大福 李德源 吕银平 审题教师：陈泽惠

欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 选择题

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题卡上。

1． 设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q=( )

A．{3,0} B．{3,0,1 } C．{3,0,2} D．{3,0,1,2}

2．如图在复平面内，复数
对应的向量分别是

则复数
的值是( )

A．
B．
C．
D．

3．设
是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是( )

A．
B．若

C．若
D．

4．下列命题正确的有( )

①
的展开式中所有项的系数和为 0；

② 命题:“
”的否定
:“
”；

③ 设随机变量服从正态分布N(0, 1),若
，则
；

④ 回归直线一定过样本点的中心（
）。

A．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

5．已知抛物线
（p>0）的准线与圆
相切，则p的值为( )

A．10 B．6 C．
D．

6．对于函数y=f（x），x∈R，“y=|f(x)|的图像关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的( )

A．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7．已知等差数列
的公差和等比数列
的公比都是
，且
，
，
，则
和
的值分别为( )

A．
B．

C．
D．

8．在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(x, y）

的概率为( )

A．
　　 B.
　　 C.
　　 D.

9．函数
的导函数
的图象与x轴所围

成的封闭图形的面积为( )

A．
1n2 B．
1n2 C．
1n2 D．
1n2

10．关于函数
的四个结论：

P1：最大值为
； P2：最小正周期为；

P3：单调递增区间为
Z；

P4：图象的对称中心为
Z .其中正确的有( )

A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个

11．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正

三角形，则这个几何体的外接球的表面积为 ( )

A．
B．
C．
D．

12．已知点P是双曲线C：
左支上一点，F1，

F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相

交于M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离

心率是( )

A．
B．2 C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上。

13．若向量
，且
，则锐角的大小是

14． 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高

（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．

若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) ,

[140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选

取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的

学生中选取的人数应为

15．已知等差数列
的前项和为
，
，
，则数列
的前
项和为______________

16．对于三次函数
给出定义：设
是函数
的导数，
是函数
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数
，请你根据上面探究结果，计算

第Ⅱ卷 非选择题

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

在公比为的等比数列
中，
与
的等差中项是
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若函数
，
，的一部分图像如图所示，
，
为图像上的两点，设
，其中与坐标原点
重合，
，求
的值.

18．（本小题满分12分）

生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于
为正品，小于
为次品．现随机抽取这两种元件各
件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标













元件A













元件B













（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；

（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元.在（Ⅰ）的前提下，

（ⅰ）记
为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量
的分布列和数学期望；

（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．

19．（本小题满分12分）

如图,四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，

PA=BC=1，PD=AB=
,E、F分别为线段PD和BC的中点．

（Ⅰ） 求证：CE∥平面PAF；

（Ⅱ）在线段BC上是否存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°？若存在，试确定G的位置；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分）

平面内与两定点
连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上
两点，所成的曲线
可以是圆，椭圆或双曲线．

（Ⅰ）求曲线
的方程，并讨论
的形状与值的关系;

（Ⅱ）当
时，对应的曲线为
；对给定的
，对应的曲线为
，若曲线
的斜率为的切线与曲线
相交于
两点，且
（
为坐标原点），求曲线
的方程．

21.（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）当
时, 求函数
的单调增区间；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最小值；

（Ⅲ） 在（Ⅰ）的条件下，设
,

证明：
.参考数据：
．

请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时必须用2B铅笔将选作题目对应题号后面的方框图涂满、涂黑，请勿多涂、漏涂。

22、选修4—1：几何证明选讲

如图AB为圆O直径，P为圆O外一点，过P点作PC⊥AB，

垂是为C，PC交圆O于D点，PA交圆O于E点，BE交PC于F点。

（I）求证：∠PFE=∠PAB；

（II）求证：CD2=CF·CP.

23、选修4—4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，－5），点M的极坐标为（4，
），若直线
过点P，且倾斜角为
，圆C以M为圆心，4为半径。

（I）求直线
的参数方程和圆C的极坐标方程；

（II）试判定直线
与圆C的位置关系。

24、选修4—5，不等式选讲

已知函数

（I） 解关于的不等式
；

（II）若函数
的图象恒在函数
的上方，求实数的取值范围。

2012-2013学年度第二学期高中教学质量监测（一）

高三年级数学科试题（理科）参考答案

一、选择题

1．B；2．A；3．B ；4．D；5．D；6．B；7．D；8．C；9．A；10．C；11．C；12．A

二、填空题

13．
； 14．3； 15．
； 16．2012.

18．解：（Ⅰ）解：元件A为正品的概率约为
． …………1分

元件B为正品的概率约为
． ………………2分

（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量
的所有取值为
． ………………3分

　　　
；
；

；
． ………………7分

所以，随机变量
的分布列为:
























． ………8分

（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有件，则次品有
件.

依题意，得
， 解得
．

所以
，或
．…10分

设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件，

则
． ………………12分

19．证明：（1）取PA中点为H，连结CE、HE、FH，

因为H、E分别为PA、PD的中点，所以HE∥AD,
,

因为ABCD是平行四边形，且F为线段BC的中点 所以FC∥AD,

所以HE∥FC,
四边形FCEH是平行四边形 所以EC∥HF

又因为

所以CE∥平面PAF ……………4分

（2）因为四边形ABCD为平行四边形且∠ACB＝90°，

所以CA⊥AD 又由平面PAD⊥平面ABCD可得

CA⊥平面PAD 所以CA⊥PA

由PA=AD=1，PD=
可知，PA⊥AD…………5分

所以可建立如图所示的平面直角坐标系A-xyz

因为PA=BC=1，AB=
所以AC=1 所以

假设BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°，

设点G的坐标为（1，a，0），
所以

设平面PAG的法向量为

则
令
所以

又
设平面PCG的法向量为

则
令
所以
……………9分

因为平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°，所以

所以
又
所以
…11分

所以线段BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°

点G即为B点……12分

20．解：（I）设动点为M，其坐标为
，

当
时，由条件可得
，

即
，

又
的坐标满足
，

故依题意，曲线
的方程为
．--------------3分

当
曲线
的方程为
，
是焦点在轴上的椭圆；

当
时，曲线
的方程为
，
是圆心在原点，半径为2的圆；

当
时，曲线
的方程为
，
是焦点在轴上的椭圆；

当
时，曲线
的方程为
，
是焦点在轴上的双曲线．--------6分

（Ⅱ）曲线
；
，
：
，

设圆
的斜率为的切线
和椭圆
交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，

令直线AB的方程为
，①

将其代入椭圆
的方程并整理得

由韦达定理得

②

因为
，

所以
③

将①代入③并整理得

联立②得
④

因为直线AB和圆
相切，因此
，
，

由④得
所以曲线
的方程
，即
．-------12分

21．解：(Ⅰ)当
时，
，

或
。函数
的单调增区间为
……………… 3分

(Ⅱ)
，

当
，
单调增。

当
，
单调减.
单调增。

当
，
单调减，

………………………………………… 8分

（Ⅲ）令
，

,

即

，



……………………………………… 12分

22、证明：（1）AB为直径，C在圆O上，BC⊥AC PC⊥AB

∠PAC=90°－∠P，∠PFC=90°－∠P

∴∠PAB=∠PFE

（2）连结AD、BD则AD⊥BD Rt△ABD中 CD2=AC·CB

直角三角形BCF∽直角三角形PCA

∴CD2=PC·CF

23、解：（1）直线
的参数方程
（上为参数）

M点的直角坐标为（0，4） 图C半径