河南开封市

2013届高三第四次模拟

数学（理）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）一（24）题为选考题。其他题为必考题。考生作答时。将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后。将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前。考生务必先将自己的姓名。准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号。并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上o

2．选择题答案使用2B铅笔填涂。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用05毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写。字体工整。笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答。并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：

样本数据
的标准差；

为样本平均数；

柱体体积公式：
、h为高；

锥体体积公式：
为高；

球的表面积、体积公式：
其中R为球的半径。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数
（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为

A．4 B．一4 C．1 D．一1

2．定义A—B={
），若M={1，2，3，4，5），N={2，3，6），则N—M=

A．M B．N C．{1，4，5} D．{6}

3．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为
，它的三视图中

的俯视图如图所示．左视图是一个矩形．则这个矩形的面积是

A．4 B．

C．2 D．

4．设函数
的图像关于直线x=
对称，它的周期是，则

A．
的图象过点（0，
） B．
在[
]上是减函数

C．
的图像一个对称中心是（
） D．
的最大值是4

5．在（
的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是

A．一7 B．7 C．一28 D．28

6．某程序的流程图如图所示，若使输出的结果不大于38，则输入的

整数；i的最大值为

A．4 B．5

C．6 D．7

7．已知直线
与曲线
相切时，则a=

A．1 B．2

C．一1 D．一2

8．已知双曲线
（a>0，b>0）的右焦点F（c，0），直线x=
与其渐近线交于A，B两点，且△ABF为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是

A．（
，+∞） B．（1，
） C．（1，
） D．（
，+∞）

9．点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=
，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为
，则这个球的表面积为

A．
B．8 C．
D．

10．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，赠送给4位朋友每位朋友至少1本，则不同的赠送方法共有

A．24种 B．28种 C．60种 D．120种

11．若a>1，设函数
的零点为m，g（x）
的零点为n，则
的取值范围是

A．（3．5，+∞） B．（1，+∞） C．（4，+∞） D．（4． 5，+∞）

12．已知数列{
}满足
,则下列结论正确的是

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第（1 3）题～第（21）题为必考题。每个试题考生都必须做答．第【22）题～第（24）题为选考题。考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．实数x，y满足条件
的最小值为 ．

14．如图，设D是图中边长分别为l和2的矩形区域，E是D内位于

函数了
图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取

一个点M，则点M取自E内的概率为 ．

15．已知以F为焦点的抛物线
x上的两点A、B满足

，则弦AB的中点到准线的距离为 ．

16．在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，三边a、b、c成等差数列，且B=
，则cosA--cosC的值为 ．

三、解答题：解答应写出文字说明。证明过程和演算步骤

17．（本小题满分12分）

已知公差不为0的等差数列{
}的首项
成等比数列．

（I）求数列{
}的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足
，求数列{
}的前行项和
．

18．（本小题满分12分）

某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为
，参加第五项不合格的概率为
．

（I）求该生被录取的概率；

（Ⅱ）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．

19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB=2，BC=
，PC=
．

（I）求证：平面PAB⊥平面ABCD；

（Ⅱ）已知棱PA上有一点E，若二面角E—BD—A的大小为45。，求AE：EP的值．

20．（本小题满分12分）

已知点A是圆
上任意一点，点F2

与点F1关于原点对称．线段AF2的中垂线m分别与AF1

AF2交于M、N两点．

（I）求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足

直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积

的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知函数

（I）讨论函数
在定义域上的单调性；

（Ⅱ）若函数
的图像有两个不同的交点，求的取值范围．

22．（本小题满分10分）选修4--1．：平面几何

已知．AB为半圆O的直径， AB=4，C为半圆上一点，过

点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交圆

于点E，DE=1．

（I）求证：AC平分∠BAD；

（Ⅱ）求BC的长．

23．（本小题满分10分）选修4--4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（t为参数），直线l与曲线C：（y一2）2一
=1交于A，B两点

（I）求|AB|的长；

（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为（
）求点P到线段AB中点M的距离．

24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

已知关于76的不等式

（I）若a=1，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式的解集为R，求a的取值范围．