2013年福州市高中毕业班质量检查

数学(文科)试卷

（完卷时间120分钟；满分150分）

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、准考证号、姓名；

2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）

1.是虚数单位，复数

，若的虚部为2，则

A．-2 B． 2 C．-1 D．1

2. 已知集合

，
，若
，则实数的取值范围是

A.
B.
C.
D.

3. 命题“存在
，
”的否定是

A．不存在
，
B．存在
，

C．对任意的
，
D．对任意的
，

4.已知圆C：x2＋y2＝2与直线l：x＋y＋
＝0，则圆C被直线l所截得的弦长为

A．1 B．
C．2 D．

5. 已知命题“直线
与平面有公共点”是真命题，那么下列命题：

①直线
上的点都在平面内；

②直线
上有些点不在平面内；

③平面内任意一条直线都不与直线
平行．其中真命题的个数是

A.0 B.1 C.2 D.3

6. 在正项等比数列
中，已知
，则
的最小值为

A.64 B. 32 C. 16 D.8

7. 如图面积为4的矩形ABCD中有一个阴影部分，若往矩形ABCD投掷1000个点，落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为400个，试估计阴影部分的面积为

A.
B.

C.
D.

8. 设动点
满足
，则
的最小值是

A. 2 B. -4 C. -1 D. 4

9. 如图所示为函数

的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么
.

A．2 B．1 C．-1 D．

10. 已知
=1，
=
，
·
=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=60°，设
=m
+n
（m，n∈Ｒ），则
=

A．
B．
C．
D．1

11. 已知抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是

A.
B. C.
D.

12.对于函数
与
和区间D，如果存在
，使
，则称
是函数
与
在区间D上的“友好点”．现给出两个函数

①
，
?? ???? ???????②
，
???

③
，
???? ?????? ?④
，

其中在区间
上存在“友好点”的有

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上．）

13.已知函数
，则
.

．已知在
中，
且三边长构成公差为2的等差数列， 则
所对的边= .

已知程序框图如右图所示，执行该程序，如果输入
，输出
，则在图中“？”处可填入的算法语句是 （写出以下所有满足条件的序号）

①
②

③
④

16.设数列｛an｝是集合｛3s＋3t| 0≤s＜t，且s，t∈Z｝中所有的数从小到大排列成的数列，

即a1＝4，a2＝10，a3＝12，a4＝28，a5＝30，a6＝36，…，

将数列｛an｝中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表：

4

10 12

28 30 36

…

= （用3s＋3t形式表示）．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

数列
的前项和为
，数列
是首项为
，公差为
的等差数列，且
成等比数列．

（Ⅰ）求数列
与
的通项公式；

（Ⅱ）若
，求数列
的前项和
．

18．(本小题满分12分)

已知平面向量
，若函数
.

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）将函数
的图象上的所有的点向左平移1个单位长度，得到函数
的图象，若函数
在
上有两个零点，求实数
的取值范围.

19．(本小题满分12分)

某校高三4班有50名学生进行了一场投篮测试，其中男生30人，女生20人．为了

编号

性别

投篮成绩



1

男

95



8

男

85



10

男

85



20

男

70



23

男

70



28

男

80



33

女

60



35

女

65



43

女

70



48

女

60



了解其投篮成绩，甲、乙两人分别都对全班的学生进行编号（1~50号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮考试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据：

编号

性别

投篮成绩



2

男

90



7

女

60



12

男

75



17

男

80



22

女

83



27

男

85



32

女

75



37

男

80



42

女

70



47

女

60





甲抽取的样本数据 乙抽取的样本数据

（Ⅰ）观察乙抽取的样本数据，若从男同学中抽取两名，求两名男同学中恰有一名非优秀的概率．

（Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？

优秀

非优秀

合计



男









女









合计





10



（Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由.

下面的临界值表供参考：

0.15

0.10

0.05

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828



（参考公式：
，其中
）

20．(本小题满分12分)

如图，已知多面体
的底面
是边长为的正方形，
底面
，
，且
．（Ⅰ ）求多面体
的体积；（Ⅱ ）求证：平面EAB⊥平面EBC；

（Ⅲ）记线段CB的中点为K，在平面
内过K点作一条直线与平面
平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．

21．(本小题满分12分)

已知椭圆C：
的离心率为
，

直线
：y=x+2与原点为圆心，以椭圆C的短轴长为直

径的圆相切.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点
的直线
与椭圆
交于
，
两点.设直线
的斜率
，在轴上是否存在点
，使得
是以GH为底边的等腰三角形. 如果存在，求出实数的取值范围，如果不存在，请说明理由.

22.（本小题满分14分）

已知函数


.

（I）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若
,对
都有
成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）证明：
（
且
）.

2013年福州市高中毕业班质量检查

数学（文科）试卷参考答案及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共60分．

1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.C 7.B 8.B 9.A 10.D 11.A 12.C

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，共16分．

13.1 14. 7 15. ②、③、④ 16.

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，考查函数与方程思想,满分12分.

解:（Ⅰ）当
，时
， 2分

又
，也满足上式，

所以数列{
}的通项公式为
． 3分

，设公差为
，则由
成等比数列，

得
， 4分

解得
（舍去）或
， 5分

所以数列
的通项公式为
． 6分

（Ⅱ）解：
8分

数列
的前项和

10分

. 12分

18. 本题考查平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、诱导公式、解三角形等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力，处理交汇性问题的能力，以及运算求解能力,满分12分.

解:（Ⅰ）∵
函数

∴
1分

3分

∴
∴函数
的最小正周期为8． 6分

（Ⅱ）依题意将函数
的图像向左平移1个单位后得到函数

…………8分

函数
在
上有两个零点，即函数
与
在
有两个交点，如图所示：

所以
，即

所以实数
取值范围为
． 12分

19. 本题主要考查概率与独立性检验相交汇等基础知识，考查数形结合能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等,满分12分.

解:（Ⅰ）记“两名同学中恰有一名不优秀”为事件A，乙抽取的样本数据中，男同学有4名优秀，记为a，b，c，d，2名不优秀，记为e，f . 1分

乙抽取的样本数据，若从男同学中抽取两名，则总的基本事件有15个， 2分

事件A包含的基本事件有
，
，
，
，
，
，
，
，共8个基本事件，所以
=
． 4分

（Ⅱ）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得
列联表如下：

优秀

非优秀

合计



男

4

2

6



女

0

4

4



合计

4

6

10



 6分

的观测值
4.4443.841， 8分

所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关． 9分

（Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样． 10分由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优． 12分

20．本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力,满分12分.

解：（Ⅰ）如图，连接ED，

∵
底面
且
，∴
底面

∴

∵

∴
面
…………………………………………1分

∴
………2分

3分

∴
． 5分

（Ⅱ ）∵ABCD为正方形，∴AB⊥BC. 6分

∵EA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，

∴BC⊥EA. 7分

又AB∩EA＝A，∴BC⊥平面EAB. 8分

又∵BC?平面EBC，

∴平面EAB⊥平面EBC. 10分

（Ⅲ）取线段DC的中点
；连接
，则直线
即为所求．…………………………………………………11分

图上有正确的作图痕迹………………………………12分

21. 本试题主要考查了点到直线的距离，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，平面向量的应用，均值不等式,考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想和化归与转化思想等，满分12分．解: (Ⅰ)
， 2分

∵直线
：y=x+2与圆x2+y2=b2相切，

∴
，解得
，则a2=4. 4分

故所求椭圆C的方程为
. 5分

（Ⅱ）在轴上存在点
，使得
是以GH为底边的等腰三角形.……6分

理由如下：

设
的方程为
（
），

由

因为直线
与椭圆C有两个交点，所以

所以
，又因为
，所以
.

设
，
，则
. 7分

.

=

.

由于等腰三角形中线与底边互相垂直，则

. 8分

所以
.

故
.

即

因为
，所以
.所以
.

设
，当
时，
，

所以函数
在
上单调递增，所以

， 10分

所以
11分

（若学生用基本不等式求解无证明扣1分）

又因为
，所以0. 所以
，.

故存在满足题意的点（m,0）且实数的取值范围为：
. 12分

22. 本小题主要考查函数、导数、数列、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分.

解：（I）

1分

当
时
，
在（0，+∞）单调递增. 2分

当m>0时，由
得

由
得0

由
得x>
4分

综上所述：当
时，
单调递增区间为（0，+∞）.

当m>0时，
单调递增区间为（0，
），单调递减区间为（
，+∞）. 5分

（Ⅱ）若m=
,
,对
都有
成立等价于对
都有
6分

由（I）知在[2,2
]上
的最大值
=
7分

函数
在[2,2
]上是增函数，

=g(2)=2-
, 9分

由2-

，得
，又因为
，∴∈

所以实数的取值范围为
。 10分

（Ⅲ）证明：
令m=
，则

由（I）知f(x)在（0,1）单调递增，（1，+∞）单调递减，

，（当x=1时取“=”号）

11分

<
12分

令S=
……………………①

2S=
……②

①-②得-S=

S=

（
） 14分