2013年高三5月模拟试卷

（理科数学）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共1
2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．

1．若集合
，则
（ ）．

A．
B．
C．
D．

2. 若纯虚数
满足
（其中是虚数单位，
是实数），则

（　　）A．
B．
C．-4 D．4

3.设命题p:存在两个相交平面垂直于同一条直线;命题q：
.则下 列命题为真命题的是( )A.
B .
C .
D.

4.公差不为0的等差数列
中,
,数列
是等比数列，且
,则
（ ） A．4 B．8 C．16 D．36

5.如图，一个空间几何体的三视图如图所示，其中，主视图是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为( )

A．
B．
C．
D．

6．在边长为1的正三角形
中，
，
，且
，则
的最大值为( )

A．
B．
C．
D．

7. 已知
， 由如右程序框
图输出的
（ ）

A. B.
C.
D.

8．在
ΔAB
C
中，角A,B,C所对的对边长分别为a、b、c，s
inA、sinB、sinC成等比数列，且c= 2a，则cosB的值为（ ）A.
B.
C.
D.

9.已知函数 ，

[来源:学_科_网]

直线与函数
、
的图象都相切，且与
图象的切点为
，则
（? ）

A．
??????? B.
?????? C.
??????? D.

10.己知关于
的函数
，若点
是区域
内任意
一点，则函数
在
上有零点的概率为（ ）A.
B.
C.
D.

11.正方形
的边长为
，中心为
，球
与正方形
所在平面相切于
点，过点
的球的直径的另一端
点为
，线段
与球
的球面的交点为
，且
恰为线段
的中点，则球
的体积为（ ）A.

B.
C.
D.

12．已知
是双曲线
上的不同三点，且
连线经过坐标原点，若直线
的斜率乘积
，则
该双曲线的离心率
=（ ）A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同分配方案有__种.

14.
的展开式的常数项是_________.（用数字作答）

15．若函数
对任意实数
都有
，则
的值等于_________.

16．给出以下命题：

① 双曲线
的渐近线方程为
；

② 命题
“
，
”是真命题；

③ 已知线性回归方程为
，当变量
增加
个单位，其预报值平均增加
个单位；

④ 设随机变量
服从正态分布
，若
，则
；

⑤ 已知
，
，
，
，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为
，（
）

则正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）．

三、解答题：共70分解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17.（本小题满分12分）在数列
中，
，并且对于任意n∈N*，都有
．

(Ⅰ)求
的通项
公式；(Ⅱ)设数列
的前n项和为，求使得
的最小正整数.

18．（本小题满分12分）

现有长度分别为
、
、
的钢管各
根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取
根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,
），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．

（Ⅰ）当
时,记事件
{抽取的
根钢管中恰有
根长度相等}，求
；

（Ⅱ）当
时,若
用
表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,①求
的分布列；

②令
，
，求实数
的取值范围．

19．（本小题满分12分）

如图：四棱锥
中
,
,
．
∥
，
．

．

（Ⅰ）证明:
平面
；[来源:Z*xx*k.Com]

（Ⅱ）在线段
上是否存在一点
，使直线
与平面
成角正弦值等于
，若存在，指出
点位置，若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分）

已知
椭圆
的左焦点为
，左右顶点分别为
，上顶点为
，过
三点
作圆
，其中圆心
的坐标为
.

(Ⅰ)当
时，椭圆的离心率的取值范围.

(Ⅱ)直线
能否和圆
相切？证明你的
结论.

21. （本小题满分12分）

已知
，函数

(Ⅰ)求
的极小值；

(Ⅱ)若
在
上为单调增函数，求
的取值范围；

（III）设
，若在
（是自然对数的底数）上至少存在一个
，使得
成立，求
的取值范围．

请考生在第(22)、（23）、（24）三题中任选一题做答，如
果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[来源:学科网ZXXK]

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图,
是圆
的直径,
是

半径
的中点,
是
延长线上一点,

且
,直线
与圆
相交于点

(不与
重合),
与圆
相切

于点
,连接
.

(Ⅰ)求证
;

(Ⅱ)若
,试求
的大小

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程．

已知曲线
的极坐标方程为
，直线的参数方程是：
（为参数）.[来源:Zxxk.Com]

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程，直线的普通方程；

（Ⅱ）将曲线
横坐标缩短为原来的
，再向左平移1个单位，得到曲线
，求曲线
上的点到直线距离的最小值.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲．

已知关于
的不等式
．

（Ⅰ）当
时，求此不等式的解集；

（Ⅱ）若此不等式的解集为
，求实数
的取值范围．

2013年张掖中学5月模拟考
试参考答案

理科数学

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

C

D

D

D

B

C

B

D

C

B

D



二、填空题：

1
3. 80
14.3 15.-1 16．①③⑤

三、解答题：

17.解：(1)
，因为
，所以
，

∴ 数列
是首项为1，公差为2的等差数列，

∴
，从而
…………………………………………6分

(2) 因为
[来源:Zxxk.Com]

所以

， 由
，得
，

最小正整数
为91.………………………………………………12分=

18．解：（1）设此事件为A 则P(A)=
………………
…4分

（2）
的取值为2,3,4,5,6.则

[来源:Z.xx.k.Com][来源:学科网]

[来源:学科网ZXXK]

因为点
在线段
上，所以假设
，所以

即
，所以
． ……9分

又因为平面
的法向量
．

所以
，所以

所以


……10分

因为直线
与平面
成角正弦值等于
，所以
．

所以
　即
．所以点
是线段
的中点． ……12分

20. (Ⅰ)由题意
的中垂线方程分别为
，

于是圆心坐标为
. …………………………………4分

=
，即
,

即
,所以
，于是
＞
即
，[来源:Zxxk.Com]

所以
,即
＜
＜
. ………………7分

（Ⅱ）假设相切， 则
， ………………………………………9分

，……11分

这与
矛盾.

故直线
不能与圆
相切. …………………
……………………………12分[来源:学科网]

21．解：（1）由题意，
，
，∴当
时，
；当
时，
，所以，
在
上是减函数，在
上是增函数，故
． …………………………………………………………………4分

（2）
，
，由于
在
内为单调增函数，所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，故
，所以
的取值范围是
．…………………9分

（3）构造函数
，

当
时，由
得，
，
，所以在
上不存在一个
，使得
．

当
时，
，因为
，所以
，
，所以
在
上恒成立，故
在
上单调递增，
，所以要在
上存在一个

，使得
，必须且只需
，解得
，故
的取值范围是
．………………12分

另法:（Ⅲ）当
时，
．

当
时，由
，得
， 令
，则
，所以
在

上递减，
．综上，要在
上存在一个
，使得
，必须且只需
．……………………………………………………………12分

22.（1）证明：因
与圆
相交于点
，由切割线定理得
，
得

，设半径
，

因
，且
，

则
，

解：（2）由（1）可知，
，且

故
，

根据圆周角定理得
，故

23.（1）曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,直线l的方程是：x-y+
=0, …………4分

(2)曲线C1的方程为：4x2+y2=4,设上的任
一点为
，到直
线l的距离d=

,得最小值为
. …………10分

24.解：（1）法一：零点分段法解得解集为
。 …………5分

法二：图像法亦可.

(2)因为
，

所以原不等式的解集为R等价于
，解得a
. …………10分