第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1．设复数z=2+bi (b∈R)且
=2
，则复数的虚部为 ( )

A. 2 B.±2i C.±2 D. ±2

2．已知集合A={y︱y=3
},B={x︱x2＞1},，则A∩CRB = （ ）

A.[-1,1] B.(0,1) C.[0,1] D.
　

3．下列命题是真命题的是 ( )

A．
是
的充要条件 B.
，
是
的充分条件

C．
，
＞
D.
，
＜ 0

4．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的
的值是 （ 　 ）

A．102

B．

C．81

D．39

( )

A.-
B.-
C.
D.

6．设等差数列
的前n项和为Sn，若a1=-15, a3+a5= -18,则当Sn取最小值时n等于 ( )

A．9 B．8 C．7 D．6

7.已知一个几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 ( )

A.

B.

C.

D.

8． 如果实数x、y满足

那么z =2x+y的范围为 ( )

A．
B．
C．
D．

9.一个三棱柱的侧棱垂直于底面，且所有棱长都为a,则此三棱柱的外接球的表面积为（ ）

A．
B.
C.
D.

10．f (x) =
sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) (ω＞0，
＜
的最小正周期为π，且f (-x)=f (x )

则下列关于g (x )= sin(ωx+φ)的图象说法正确的是 （ ）

A．关于点（
对称 B.关于直线x=
对称

C. 在x∈[0,
]上，函数值域为[0，1] D. 函数在x∈[
]上单调递增

11．若P点是以A（-3，0）、B（3，0）为焦点，实轴长为
的双曲线与圆x2+y2=9的

一个交点，则
= （ ）

A．
B.
C.
D.

12．已知：
, 若
，则

的零点个数有 （ ）

A.1个 B.4个 C.2个 D.3个

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选做题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知平面向量
，
满足：
，则
的夹角为

14．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=2,b=4,cosC=
,则sinB=

15.若向面积为16的△ABC内任投一点P，则△PBC面积小于4的概率为 ；

16．给出下列命题：①抛物线x=
的准线方程是x=1；

②若x∈R，则
的最小值是2 ；

③ 函数f(x)=
的定义域为
2，
；

④ 圆C1：
与圆C2：
的位置关系是外切。

其中正确的是（填序号）

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本题满分为12分)

各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2=8, a4=128, bn=log2an

求数列{an}的通项公式；

求数列{bn}的前n项和Sn；；

求满足不等式
的正整数n的最大值。

18．（本小题满分12分）

在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，侧棱AA1⊥面ABC，D、E分别是棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且
．

（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；

（Ⅱ）求三棱锥D-BEC1的体积。

19．（本题满分12分）

某中学高一、高二、高三年级分别有60人、30人、45人选修了学校开设的某门校本课程，学校用分层抽样的方法从上述三个年级选修校本课程的人中抽取了一个样本，了解学生对校本课程的学习情况。已知样本中高三年级有3人。

(1)．分别求出样本中高一、高二年级的人数；

(2)．用
（i=1,2...）表示样本中高一年级学生，
（i=1,2...）表示样本中高二年级学生，现从样本中高一、高二年级的所有学生中随机抽取2人。

①用以上学生的表示方法，用列举法列举出上述所有可能的情况：

②求①中2人在同一年级的概率。

20.(本题满分12分)

已知圆G：
经过椭圆
(a＞b＞0)的右焦点F及上顶点B。

（1）求椭圆的方程

（2）过椭圆外一点M(m,0) (m＞a)倾斜角为
的直线
与椭圆交于C、D两点，若右焦点F在以弦CD为直径的圆的外部，求实数m的范围。　

21.（本题满分12分）

设f (x)=
，g(x) =

(1)求曲线f(x)在原点处的切线方程；

（2）求函数g(x)的单调区间；

（3） 若对任意的x1∈[0，2],总存在x2∈[0,2],使f(x1)-g(x2)=0成立，求实数a的范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲

在
中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆

交于点P，交BC延长线于点D。

（1）求证：
；

（2）若AC=3，求
的值。

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

设直线
的参数方程为
(t为参数），若以直角坐标系
的
点为极点，
轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线
的极坐标方程为ρ=
．

（1）将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；

（2）若直线
与曲线
交于A、B两点，求
.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数

（1）求f(x)≤6 的解集

（2）若f(x)≥m 对任意x∈R恒成立，求m的范围。

高三数学（文科）参考答案

一．选择题：（每题5分）CDBAD BDBDB AD

二．填空题：（每题5分）13.
14.
15.
16.(1)(4)

（3） ∵（1-

=

=

∴
∴n≤2013

∴n的最大值为2013 （12分）

18.（12分）（1）证明：设O为AB的中点，连结A1O，

∵AF=
AB ，O为AB的中点

∴F为AO的中点，又E为AA1的中点

∴EF∥A1O

又∵D为A1B1的中点，O为AB的中点

∴A1D=OB 又A1D∥OB

∴四边形A1DBO为平行四边形

∴A1O∥BD 又EF∥A1O ∴EF∥BD

又EF平面DBC1 ， BD平面DBC1 ∴EF∥平面DBC1 （6分）

（2）∵AB=BC=CA=AA1=2，D、E分别为A1B1、AA1的中点，AF=
AB

∴C1D⊥面ABB1A1 ∴

C1D=

∴
=
=
（12分）

19．（12分）(1).解:设样本容量为n

∵样本中高三年级有3人 ∴
∴n=9

∴样本中高一年级人数为：

样本中高二年级人数为：
（人） （5分）

(2)．①所有可能的情况有：
，

，
共15种

其中在同一年级的有7种 （10分）

②在同一年级的概率P=
（12分）

∵右焦点F在以弦CD为直径的圆的外部　

∴
0，∴（x1-2） (x2-2)+y1y2＞0

4x1x2-(m+6)(x1+x2)+
0

4×
-（m+6）×m+
＞0 即：
0

m＞3或m＜0 又m＞
,
12

∴m∈
（12分）

21.（12分）（1）解：∵
∴

∴过原点的切线方程是：y=
( 3分)

（2）

当a＜0时，
＜0

∴
在
上递减

当a＞0时，由
＞0时得：x＞
＜

由
＜0时得：
＜x＜

∴
在

上递减，在
和
上递增 （6分）

（3）∵x∈[0，2] ∴

设当x∈[0，2]时，
的值域为A

∵对任意的x1∈[0，2],总存在x2∈[0,2],使f(x1)-g(x2)=0成立

∴[0，
]
（8分）

22．（10分）

解：（1）连结BP，∵四边形ABCP内接于圆，

∴∠PCD=∠BAD 又∠PDC=∠BDA

∴△PCD～△BAD

∴

又∵AB=AC

∴
（5分）

（2）连结BP。∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB

又∵四边形ABCP内接于圆 ∴∠ACB=∠APB

从而∠ABC=∠APB 又∠BAP=∠BAD

∴△PAB～BAD ∴
∴

又∵AB=AC=3 ∴
=
（10分）

23．（10分）解：（1）由ρ=
得ρ

∴

∴ 曲线C表示顶点在原点，焦点在x上的抛物线 （5分）

（2）
化为
代入
得

（10分）

（或将直线方程化为直角坐标方程用弦长公式求解均可）

24．（10分）解：（1）
≤6

不等式等价于：
或
或

等价于
或
或

∴不等式的解集为[-2，10] （5分）

（2）由（1）知

容易求得函数最小值为-3 ∵f(x)≥m 对任意x∈R恒成立 ∴m≤-3 （10分）