马鞍山市2013届高三第三次教学质量检测

文科数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.

考生注意事项：

1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.

2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑.

（1）已知集合
，则图中阴影部分表示的集合是（ ▲ ）

A.
B.

C.
D.

【答案】D

【命题意图】本题考查集合运算，venn图．简单题．

（2）若为虚数单位，图中复平面内的点表示复数，
为复数的共轭复数，

则表示复数
的点是（ ▲ ）

A. 点 B. 点

C. 点 D. 点

【答案】D.
．

【命题意图】本题考查复数的几何意义、共轭复数、复数的运算．简单题．

（3）在等比数列
中，若
则
（ ▲ ）

A. 128 B. －128 C. 256 D. －256

【答案】C.

【命题意图】本题考查等比数列的基本运算．简单题．

（4）“
”是“直线
垂直”的（ ▲ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A.

【命题意图】本题考查直线的方程、充要条件等基础知识．简单题.

（5）两圆
和
的位置关系是（ ▲ ）

A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离

【答案】C.

【命题意图】本题考查平面内两圆的位置关系．简单题．

（6）对于实数集上的可导函数
，若满足
，则在区间[1,2]上必有（ ▲ ）

A.
B.

C.
D.
或

【答案】Ａ

【命题意图】本题考查导数的应用，函数的单调性．中等题．

（7）若实数
满足条件
，则
的最大值为（ ▲ ）

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

【答案】B.

【命题意图】本题考查线性规划，考查数形结合能力．中等题．

（8）函数
(其中
)的部分图象如图所示，将
的图象向右平移
个长度单位，所得图象对应的函数解析式为（ ▲ ）

A.
B.

C.
D.

【答案】C

【命题意图】本题考查三角函数的图象、性质、图象变换．中等题．

（9）过双曲线
左焦点
，倾斜角为
的直线交双曲线右支于点，若线段
的中点在轴上，则此双曲线的离心率为（ ▲ ）

A.
B.
C. D.

【答案】D.

【命题意图】本题考查双曲线及其几何性质，考查运算求解能力．较难题．

（10）如图，在
中，
，
，
，则
等于（ ▲ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】B.

【命题意图】本题考查平面向量的性质、运算的几何意义．较难题．

.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

D

C

A

C

A

B

C

D

B





第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．

（11）函数
的定义域是 ▲ ．

【答案】

【命题意图】本题函数的概念、不等式的解法．简单题．

（12）
中，角
的对边分别是
，若
，
，则
的面积是 ▲ ．

【答案】1.

【命题意图】本题考查正弦定理、三角形面积公式．简单题．

（13）右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为和，腰长为的等腰梯形，则该几何体的表面积是 ▲ ．

【答案】
.

【命题意图】本题考查空间几何体的三视图、表面积的计算，考查空间想象能力．简单题．

（14）执行下面的程序框图，输出的
　▲　．

【答案】12

【命题意图】本题考查程序框图、阅读理解能力．中等题．

（15）已知函数
，对于下列命题：

①函数
的最小值是0；

②函数
在上是单调递减函数；

③若
；

④若函数
有三个零点，则的取值范围是
；

⑤函数
关于直线
对称．

其中正确命题的序号是___▲___．（填上你认为所有正确命题的序号）．

【答案】③④

【命题意图】本题考查分段函数的性质，考查理解能力和数形结合能力．较难题．

三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

（16）（本题满分12分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期及对称轴方程；

（Ⅱ）当
时，求函数
的最大值和最小值及相应的x值．

（16）【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识．简单题．

解：(Ⅰ)

.

所以
的最小正周期为
. 由
，得对称轴方程为
.………6分

（Ⅱ）当
时，
，所以当
，即
时，
；当
，即
时，
．…………………………12分

（17）（本题满分12分）

2013年1月份,我国北方部分城市出现雾霾天气，形成雾霾天气主要原因与
有关.
是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.
日均值越小，空气质量越好. 2012年2月29日，国家环保部发布的《环境空气质量标准》见下表：

日均值k(微克)

空气质量等级





一级





二级





超标





某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况，在过去某月的30天中分别随机抽取了甲、乙两市6天的
日均值作为样本，样本数据茎叶图如上右图所示（十位为茎，个位为叶）. （Ⅰ）分别求出甲、乙两市
日均值的样本平均数，并由此判断哪个市的空气质量较好；

（Ⅱ）若从甲市这6天的样本数据中随机抽取两天的数据，求恰有一天空气质量超标的概率.

（17）【命题意图】本题考查统计、古典概型等基础知识，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力. 简单题．

解：（Ⅰ）甲市抽取的样本数据分别是34,42,67,71,79,85；乙市抽取的样本数据为31,48,45,65,73,86.

，
．

因为
，所以乙市的空气质量较好. ……………………6分

（Ⅱ）由茎叶图知，甲市6天中有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标，记未超标的4天数据为
，超标的两天数据为
，则6天中抽取两天的所有情况为：

，基本事件总数为15.

记“恰有一天空气质量超标”为事件A，则事件A包含的基本事件为：
，

事件数为8. 所以
. 即恰有一天空气质量超标的概率为
.……………………12分

（18）（本题满分12分）

已知函数
（为常数），且
在点
处的切线平行于轴．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求函数
的单调区间．

（18）【命题意图】本题考查导数的几何意义、导数的应用、解不等式等基础知识．中等题．

解：（Ⅰ）∵
，∴
；又∵
在点
处的切线平行于轴，∴
，得
． …………………………………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，∴
；………8分

由
得
，或
；由
，
．………………………………………………10分

∴ 函数f ( x ) 的单调递增区间为 (0，1) 和 (5，+ ∞ )，单调递减区间为 (1 , 5 )．…………12分

（19）（本题满分13分）

如图，已知四边形
为梯形，
，
，四边形
为矩形，且平面
平面
，
，点为
的中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：平面
平面
；

（Ⅲ）求三棱锥
的体积．

（19）【命题意图】本题考查线面位置关系的证明、多面体体积的计算，考查空间想象能力．中等题．

解：（Ⅰ）取
中点，连
．∵为对角线
的中点，∴
，且
，∴四边形
为平行四边形，即
∥
．又∵
平面
，
平面
，∴
∥平面
．…………………………………4分

（Ⅱ）∵四边形
为矩形，且平面
平面
，∴
平面
，∴
；∵四边形
为梯形，
，且
，∴
．又在
中，
，且
，∴
，
，∴
．于是在
中，由
，
，
及余弦定理，得
．∴
，∴
．∴
平面
，又∵
平面
，∴平面
平面
．……………………9分

（Ⅲ）作
，垂足为
，由平面
平面
得
平面
．易求得
，所以三棱锥
的体积
．……13分

（20）（本题满分13分）

已知等差数列
和公比为
的等比数列
满足：
，
，
．

（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
的前项和为
，且对任意
均有
成立，试求实数的取值范围．

（20）【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的概念与通项公式、数列求和等基础知识和基本方法，考查运算求解能力、推理论证能力．中等题．

解：(Ⅰ)设等差数列的公差为，根据题意，得
，解得
（舍去），或
，

所以数列
，
的通项公式分别为：
，
．………………………………5分

(Ⅱ)
①

所以
②

①－②，得
，

∴
；…………………………………………………………………………9分

所以
，化简并整理，得
．……………………………10分

令
，则
．

∵
，∴
，∴对
，
，∴
，故
．…………13分

（21）（本题满分13分）

已知椭圆
,
为其右焦点，离心率为
.

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

(Ⅱ)若点