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北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二） 数学 （文科） 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合，，那么集合是 （A） （B） （C） （D） （2）如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[40,50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100] ，则图中的值等于 （A） （B） （C） （D） （3） 则 等于 （A） （B） （C） （D） （4）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （5）已知命题；命题，均是第一象限的角，且，则．下列命题是真命题的是 （A） （B） （C） （D） （6）已知，满足则的最大值为 （A） （B） （C） （D） （7）根据表格中的数据，可以断定函数的零点所在的区间是 1 2 3 5
0 0.69 1 1.10 1.61
3 1.5 1.10 1 0.6 （A） （B） （C） （D） （8）在数列中，若对任意的，都有（为常数），则称数列 为比等差数列，称为比公差．现给出以下命题： ①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列； ②若数列满足，则数列是比等差数列，且比公差； ③若数列满足，，（），则该数列不是比等差数列；④若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列． 其中所有真命题的序号是 （A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①③ 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）已知向量，，若，则 . （10）各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为 ，的值为 ． （11）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入的值为时，输 出的值为 ． （12）在△中，角，，的对边分别为，，，且 若，，则的值为 ． （13）过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若， 则的中点到轴的距离等于 ． （14）对定义域的任意，若有的函数，我们称为满足“翻负”变换的函数，下列函数： ①，②，③中满足“翻负”变换的函数是 . （写出所有满足条件的函数的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分） 已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）当时，求的取值范围． （16）（本小题共13分） 用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表：（单位：人） 年级 相关人数 抽取人数 高一 99 高二 27 高三 18 2 （Ⅰ）求，； （Ⅱ）若从高二、高三年级抽取的人中选人，求这二人都来自高二年级的概率． （17）（本小题共14分） 如图，△是等边三角形， ，，，，分别是，，的中点，将△沿折叠到△的位置，使得. （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求证：平面. （18）（本小题共14分） 已知函数. (Ⅰ)求的单调区间； (Ⅱ)如果是曲线上的点，且，若以 为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值. （19）（本小题共13分） 已知椭圆：的离心率，原点到过点，的直线的距离是. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线交椭圆于不同的两点，，且，都在以为圆心的圆上,求的值. （20）（本小题共13分） 已知数列，，，，． （Ⅰ）求，； （Ⅱ）是否存在正整数，使得对任意的，有. 北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二） 数学参考答案（文科） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）B （2）C （3）D （4）D （5）A （6）C （7）C （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9） （10） （11） （12） （13） （14）①③ 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）因为
=
. 所以的最小正周期. （Ⅱ） 因为， 所以. 所以的取值范围是. ………………………………13分 （16）（共13分） 解：（Ⅰ）由题意可得 ，所以，. （Ⅱ）记从高二年级抽取的人为，，，从高三年级抽取的人为，， 则从这两个年级中抽取的人中选人的基本事件有：，，，，，，，，，共种. ……8分 设选中的人都来自高二的事件为， 则包含的基本事件有：，，共种. 因此. 故选中的人都来自高二的概率为. ………………………………………13分 （17）（共14分） 证明：（Ⅰ）因为，分别是，的中点， 所以. 因为平面， 平面， 所以平面. 同理平面. 又因为， 所以平面平面. （Ⅱ）因为， 所以. 又因为，且， 所以平面. 因为平面， 所以. 因为△是等边三角形，， 不防设，则 ， 可得. 由勾股定理的逆定理，可得. 因为， 所以平面． ………………………………………………14分 （18）（共14分） 解:(Ⅰ) ，定义域为, 则. 因为,由得, 由得， 所以的单调递增区间为 ,单调递减区间为. (Ⅱ)由题意，以为切点的切线的斜率满足 ， 所以对恒成立. 又当时, , 所以的最小值为. ……14分 （19）（共13分） 解(Ⅰ) 因为，， 所以 . 因为原点到直线：的距离， 解得，. 故所求椭圆的方程为. (Ⅱ) 由题意 消去，整理得 . 可知. 设，，的中点是， 则，. 所以. 所以. 即 . 又因为， 所以.所以. ………………………………13分 （20）（共13分） 解：（Ⅰ）； ． （Ⅱ）假设存在正整数，使得对任意的，有． 则存在无数个正整数，使得对任意的，有． 设为其中最小的正整数． 若为奇数，设（）， 则． 与已知矛盾． 若为偶数，设（）， 则， 而 从而． 而，与为其中最小的正整数矛盾． 综上，不存在正整数，使得对任意的，有．…………13分
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