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北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二） 数学 （理科） 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合，，那么集合是 （A） （B） （C） （D） （2）如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[40,50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100] ，则图中的值等于 （A） （B） （C） （D） （3）已知圆的极坐标方程是，那么该圆的直角 坐标方程是 （A） （B） （C） （D） （4）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （5）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入的值为时，输出的值为 （A） （B） （C） （D） （6）已知，那么的值为 （A） （B） （C） （D） （7）过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若，则的中点到轴的距离等于 （A） （B） （C） （D） （8）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（其中是的导函数），若，，，则，，的大小关系是 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）已知向量，，若，则 . （10）若复数是纯虚数,则实数的值为 ． （11）各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为 ，的值为 ． （12）如图，为⊙的直径,切⊙于点,且过点的割线 交的延长线于点,若,， 则 ， . （13）5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有 种． （14）在数列中，若对任意的，都有（为常数），则称数列 为比等差数列，称为比公差．现给出以下命题： ①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列； ②若数列满足，则数列是比等差数列，且比公差； ③若数列满足，，（），则该数列不是比等差数列；④若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列． 其中所有真命题的序号是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分） 已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）当时，求的取值范围． （16）（本小题共13分） 某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级．测试结果如下表：（单位：人） 优秀 良好 合格 男 女 按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取人，其中成绩为优的有人． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为的样本，从中任选人，记为抽取女生的人数，求的分布列及数学期望． （17）（本小题共14分） 如图，△是等边三角形， ，，将△沿折叠到△的位置，使得. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若，分别是，的中点，求二面角的余弦值. （18）（本小题共14分） 已知函数. (Ⅰ)求的单调区间； (Ⅱ)如果是曲线上的任意一点，若以 为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值； （Ⅲ）讨论关于的方程的实根情况. （19）（本小题共13分） 已知椭圆：的离心率，原点到过点，的直线的距离是. (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若椭圆上一动点关于直线的对称点为,求的取值范围. （Ⅲ）如果直线交椭圆于不同的两点，，且，都在以为圆心的圆上,求的值. （20）（本小题共13分） 已知数列，，，，． （Ⅰ）求，； （Ⅱ）是否存在正整数，使得对任意的，有； （Ⅲ）设，问是否为有理数，说明理由． 北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二） 数学参考答案（理科） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）B （2）C （3）A （4）D （5）D （6）B （7）D （8）C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9） （10） （11） （12） （13） （14）①③ 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）因为
=
. 所以的最小正周期. （Ⅱ） 因为， 所以. 所以的取值范围是. ………………………………13分 （16）（共13分） 解：（Ⅰ）设该年级共人，由题意得，所以． 则． （Ⅱ）依题意，所有取值为． ， ， ． 的分布列为：
． ………………………………………13分 （17）（共14分） （Ⅰ）证明：因为 所以, 又因为，且, 所以 平面, 因为平面， 所以 . （Ⅱ）因为△是等边三角形， ，， 不防设，则 ， 又因为，分别为，的中点， 由此以为原点，，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系． 则有，，，，，. 所以，. 设平面的法向量为. 则 即 令，则. 所以． 又平面的一个法向量为． 所以 ． 所以二面角的余弦值为． ………………………………14分 （18）（共14分） 解:(Ⅰ) ，定义域为, 则. 因为,由得, 由得， 所以的单调递增区间为 ,单调递减区间为. (Ⅱ)由题意，以为切点的切线的斜率满足 ， 所以对恒成立. 又当时, , 所以的最小值为. (Ⅲ)由题意，方程化简得 + 令，则. 当时, ， 当时, , 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 所以在处取得极大值即最大值，最大值为. 所以 当， 即时， 的图象与轴恰有两个交点， 方程有两个实根, 当时， 的图象与轴恰有一个交点， 方程有一个实根, 当时， 的图象与轴无交点， 方程无实根. ……14分 （19）（共13分） 解: (Ⅰ)因为，， 所以 . 因为原点到直线：的距离， 解得，. 故所求椭圆的方程为. (Ⅱ)因为点关于直线的对称点为， 所以 解得 ，. 所以. 因为点在椭圆:上， 所以. 因为, 所以. 所以的取值范围为. (Ⅲ)由题意 消去，整理得 . 可知. 设，，的中点是， 则，. 所以. 所以. 即 . 又因为， 所以.所以. ………………………………13分 （20）（共13分） 解：（Ⅰ）； ． （Ⅱ）假设存在正整数，使得对任意的，有． 则存在无数个正整数，使得对任意的，有． 设为其中最小的正整数． 若为奇数，设（）， 则． 与已知矛盾． 若为偶数，设（）， 则， 而 从而． 而，与为其中最小的正整数矛盾． 综上，不存在正整数，使得对任意的，有． （Ⅲ）若为有理数，即为无限循环小数， 则存在正整数，，对任意的，且，有． 与（Ⅱ）同理，设为其中最小的正整数． 若为奇数，设（）， 当时，有． 与已知矛盾． 若为偶数，设（）， 当时，有， 而 从而． 而，与为其中最小的正整数矛盾． 故不是有理数． ……………………………………………………13分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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