2013年高三数学查漏补缺题

理科 2013年5月

1.函数
图象的两条相邻对称轴间的距离为

A.
B.
C.
D.

2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

A．
B．
C．
D．

3.若向量
满足
，且
，则向量
的夹角为

A．30° B．45° C．60° D．90°

4.已知函数
，则
，
，
的大小关系为A．
　　　　　 　　B．

C．
　　　 　 　　 D．

5.某空间几何体三视图如右图所示，则该几何体的表面积为_____,

体积为_____________.

6.设
、
是不同的直线，
、
、
是不同的平面，有以下四个命题：

① 若
则
②若
，
，则

③ 若
，则
④若
，则

其中所有真命题的序号是_____

7.设不等式组
表示的平面区域为D，若直线
上存在区域D上的点，则
的取值范围是_____.

8.已知不等式组
所表示的平面区域为
，则
的面积是_____；

设点
，当
最小时，点
坐标为_____．

9.
的展开式中的常数项为

10. 计算
.

11.若直线
的参数方程为
其中
为参数，则直线
的斜率为_______.

12.如图，已知
是圆
的切线，切点为
,
交圆
于
两点，

，则

13.如图所示，正方体
的棱长为1,
分别是棱
，
的中点，过直线
的平面分别与棱
、
交于
，

设
，
，给出以下四个命题：

①平面

平面
；

②四边形
周长
，
是单调函数；

③四边形MENF面积
，
是单调函数；

④四棱锥
的体积
为常函数；

以上命题中正确命题的个数（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

14.直线
与抛物线
相切于点
. 若
的横坐标为整数，那么
的最小值为 .

15.已知数列
的前
项和
若
是
中的最大值，则实数
的取值范围是_____.

解答题部分：

1. 已知函数

（I）求
的最小正周期和值域；

（Ⅱ）在
中，角
所对的边分别是
，若
且
，试判断
的形状.

2. 如图，在直角坐标系
中，点
是单位圆上的动点，过点
作
轴的垂线与射线
交于点
，与
轴交于点
．记
，且
．

（Ⅰ）若
，求
；

（Ⅱ）求
面积的最大值.

3. 已知函数
,且

（Ⅰ）求
的值.

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最大和最小值.

4.数列
的各项都是正数，前
项和为
,且对任意
，都有
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求数列
的通项公式.

5. 已知正三角形
与平行四边形
所在的平面互相垂直.

又
，且
，点
分别为
的中点.

　(I) 求证：

　(Ⅱ) 求二面角
值.

6. 袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．

（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；

（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记
为摸出两球中白球的个数，求
的期望和方差.

7. 已知函数
在
处有极值.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若直线
与函数
有交点，求实数
的取值范围.

8. 已知函数
，其中
.

（Ⅰ）求
的单调递减区间；

（Ⅱ）若存在
，
，使得
，求
的取值范围.

9. 设函数
，其图象在点
处的切线的斜率分别为
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若函数
的递增区间为
，求
的取值范围．

10. 已知椭圆

的离心率为
，且经过点
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设
为椭圆
上的两个动点，线段
的垂直平分线交
轴于点
，求
的取值范围.

11.如图，已知
，
两点分别在
轴和
轴上运动，并且满足
，
.

（Ⅰ）求动点
的轨迹方程；

（Ⅱ）若正方形
的三个顶点
在点
的轨迹上，

求正方形
面积的最小值.

12. 动圆过点
且在
轴上截得的线段长为
，记动圆圆心轨迹为曲线
.

（Ⅰ）求曲线
的方程;

（Ⅱ）已知
是曲线
上的两点，且
，过
两点分别作曲线
的切线，设两条切线交于点
，求△
面积的最大值．

13.已知椭圆
的左右两个顶点分别为
，点
是直线
上任意一点，直线
，
分别与椭圆交于不同于
两点的点
，点
.

（Ⅰ）求椭圆的离心率和右焦点
的坐标；

（Ⅱ）（i）证明
三点共线；

（Ⅱ）求
面积的最大值。

2013年最后阶段高三数学复习参考资料答案

理科 2013年5月

题号

1

2

3

4

5



答案

B

C

C

A


，



题号

6

7

8

9

10



答案

①③





15





题号

11

12

13

14

15



答案

-2



B

1







解答题部分：

１. 解：﹙Ⅰ﹚

所以

﹙Ⅱ﹚由
，有
，

所以

因为
，所以
,即
.

由余弦定理
及
，所以
.

所以
所以
.

所以
为等边三角形.

2. 解：依题意
，所以
．

因为
，且
，所以
．

所以
．

（Ⅱ）由三角函数定义，得
，从而

所以

因为
，所以当
时，等号成立

所以
面积的最大值为
.

3.解：（Ｉ）

（ＩＩ）因为

设
因为
所以

所以有

由二次函数的性质知道，
的对称轴为

所以当
，即
，
时，函数取得最小值

当
，即
，
时，函数取得最大小值

4. 证明：（I）当
时，

因为
，所以

当
时，
①

②

①－②得，

因为
所以
，

即
因为
适合上式

所以

（Ⅱ）由（I）知

③

当
时，
④

③－④得
－

因为
,所以

所以数列
是等差数列，首项为1，公差为1，可得

5.（I）因为在正三角形
中，
为
中点，

所以

又平面

平面
，且平面

平面
，

所以
平面
，所以

在
中，

所以
，所以
，

即
，又

所以
平面
，所以

（Ⅱ）以
为坐标原点，
所在直线为坐标轴建立坐标系，

则
，

由（I）得平面
的法向量为

设平面
的法向量为

因为

所以
解得
，取

所以
，

所以二面角
的值为
.

6. 解：（Ⅰ）记 “摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为事件A，

摸出一球得白球的概率为
，

摸出一球得黑球的概率为
，

所以P（A）＝
×
＋
×
＝

答：两球颜色不同的概率是

（Ⅱ）由题知
可取0，1，2， 依题意得

则
，

答： 摸出白球个数
的期望和方差分别是
，
.

7. 解：（Ⅰ）因为
，

所以

由
，可得

经检验
时，函数
在
处取得极值，

，

而函数
的定义域为
，

当
变化时，
，
的变化情况如下表：























极小值





由表可知，
的单调减区间为
，
的单调增区间为

（Ⅱ）若
，则有
，其中
，

所以
有大于
的根，

显然
，设

则其对称轴为
，根据二次函数的性质知道，

只要

解得
或
.

8. （Ⅰ）解：

① 当
时，令
，解得

的单调递减区间为
；单调递增区间为
，

当
时，令
，解得
，或

② 当
时，
的单调递减区间为
，

单调递增区间为
，

③ 当
时，
为常值函数，不存在单调区间

④ 当
时，
的单调递减区间为
，

单调递增区间为
，

（Ⅱ）解：① 当
时，若
，

若
，
，不合题意

② 当
时，显然不合题意

③ 当
时，取
，则

取
，则
，符合题意

④ 当
时，取
，则

取
，则
，符合题意

综上，
的取值范围是
．

9.解：（Ⅰ）证明：
，由题意及导数的几何意义得

，
　（1）

， （2）

又
，可得
，即
，故

由（1）得
，代入
，再由
，得

， （3）

将
代入（2）得
，即方程
有实根．

故其判别式
得
，或
， （4）

由（3），（4）得
；

（Ⅱ）由
的判别式
，

知方程
有两个不等实根，设为
，

又由
知，
为方程（
）的一个实根，则由根与系数的关系得

，

当
或
时，
，当
时，
，

故函数
的递增区间为
，由题设知
，

因此
，由（Ⅰ）知
得

的取值范围为
.

10.解: （Ⅰ）椭圆
的方程为：

（Ⅱ）设
，则
，
.

依题意有
，即
，

整理得
.

将
，
代入上式，消去
，

得
.

依题意有
，所以
.

注意到
，
，且
两点不重合，从而
.

所以
.

11. 解：(I)

由已知
则

（Ⅱ）如图，不妨设正方形在抛物线上的三个顶点中
在
轴的下方（包括
轴），

记
的坐标分别为
，其中

并设直线
的斜率为

则有
……①

又因为
在抛物线
上，故有

代入①式得

……②

因为

即

所以

所以
将②代入可得：

即
，

得

正方形的边长为

易知
, 所以

所以正方形ABCD面积的最小值为
.

12．解：（Ⅰ）设圆心坐标为
，那么
，化简得

（Ⅱ）解法一：设

设直线PQ的方程为
，代入曲线C的方程得
，

所以

因为
，所以

所以,

过P、Q两点曲线C的切线方程分别为

两式相减，得

，
，

代入过P点曲线C的切线方程得,

，

即两条切线的交点M的坐标为（
），所以点M到直线PQ的距离为

当
时,
,此时
的面积的取最大值

解法二: 设
,则过P、Q两点曲线C的切线方程分别为

两式相减得
，

，
，

代入过P点曲线C的切线方程得,

，

即两条切线的交点M的坐标为(
，
)

设PQ中点为C，则C的坐标为(
，
)，所以MC平行于y轴，所以

设点M到直线PQ的距离为d，那么
(当且仅当
时等号成立) ．

又因为
，所以
，

即
，
．

所以
(当且仅当
时等号成立) ．

因此
，
，

所以
的面积的最大值为
．

13.解:（Ⅰ）
，
，所以，
。

所以，椭圆的离心率
。

右焦点
。

（Ⅱ）（i）
，
。设
，显然
。

则
，
。

由
解得

由
解得

当
时，
，
三点共线。

当
时，
，

，

所以，
，所以，
三点共线。

综上，
三点共线。

（Ⅱ）因为
三点共线，所以，△PQB的面积

设
，则

因为
，且
，所以，
，且仅当
时，
，

所以，
在
上单调递减。

所以，
，等号当且仅当
，即
时取得。

所以，△PQB的面积的最大值为
.