2013年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测

理科数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.

2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑.

（1）设集合
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）已知复数
，则“
”是“为纯虚数”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（3）已知随机变量服从正态分布
，且
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）下列函数中，既是偶函数，又在区间
内是增函数的为

（A）
（B）

（C）
（D）

（5）在极坐标系中，直线
与圆
的位置关系是

（A）相交 （B）相切 （C）相离 （D）无法确定

（6）右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为和，腰长为的等腰梯形，则该几何体的表面积是

（A）

（B）

（C）

（D）

（7）已知
是双曲线
的两焦点，以线段
为边作正
，若边
的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）从
中任取一数，从
中任取两个数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为

（A）
（B） （C） （D）

（9）数列
的前项和为
，若
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）已知函数
，则下列结论正确的是

（A）
在
上恰有一个零点 （B）
在
上恰有两个零点

（C）
在
上恰有一个零点 （D）
在
上恰有两个零点

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．

（11）若
展开式中的所有二项式系数和为
，则该展开式中的常数项为　▲　．

（12）设平面区域是由双曲线
的两条渐近线和抛物线
的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点
，则目标函数
的最大值为　▲　．

（13）执行下边的程序框图，输出的
　▲　．

（14）
中，向量
与
的夹角为
，
，则
的取值范围是　▲　．

（15）如图，设是棱长为的正方体的一个顶点，过从顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，截去个三棱锥，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：

① 有个顶点； ② 有
条棱；

③ 有个面； ④ 表面积为
；

⑤ 体积为
．

其中正确的结论是　▲　（写出所有正确结论的编号）．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（16）（本小题满分12分）

已知函数
的最小正周期为
．

（Ⅰ）求
的解析式；

（Ⅱ）设
的三边
满足
，且边所对的角为，求此时函数
的值域．

（17）（本小题满分12分）

甲、乙等名同学参加某高校的自主招生面试，已知采用抽签的方式随机确定各考生的面试顺序（序号为
）．

（Ⅰ）求甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率；

（Ⅱ）记在甲、乙两考生之间参加面试的考生人数为
，求随机变量
的分布列与期望．

（18）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
平面
，
平面
，
，
．

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的大小．

（19）（本小题满分12分）

数列
满足
，
．

（Ⅰ）求
、
、
；

（Ⅱ）求
的表达式；

（Ⅲ）令
，求
．

（20）（本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调增区间；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最小值．

（21）（本小题满分14分）

已知
分别是椭圆
的左、右顶点，点
在椭圆上，且直线
与直线
的斜率之积为
．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图，已知
是椭圆上不同于顶点的两点，直线
与
交于点
，直线
与
交于点．① 求证：
；② 若弦
过椭圆的右焦点
，求直线
的方程．

马鞍山市2013届高三第三次教学质量检测

理科数学参考答案

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

（1）设集合
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】选（B）．

【命题意图】本题考查不等式的解法和集合的运算，容易题．

（2）已知复数
，则“
”是“为纯虚数”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】选（A）．

【命题意图】本题考查复数的概念及充要条件，容易题．

（3）已知随机变量服从正态分布
，且
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】选（C）．

【命题意图】本题考查正态分布知识，容易题．

（4）下列函数中，既是偶函数，又在区间
内是增函数的为

（A）
（B）

（C）
（D）

【答案】选（B）．

【命题意图】本题考查函数的奇偶性与单调性，容易题．

（5）在极坐标系中，直线
与圆
的位置关系是

（A）相交 （B）相切

（C）相离 （D）无法确定

【答案】选（C）．化成普通方程，易判断．

【命题意图】本题考查极坐标方程及直线与圆的位置关系，容易题．

（6）右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为和，腰长为的等腰梯形，则该几何体的表面积是

（A）
（B）

（C）
（D）

【答案】（D）

【命题意图】本题考查三视图的概念与几何体表面积的计算，考查空间想象能力，容易题．

（7）已知
是双曲线
的两焦点，以线段
为边作正
，若边
的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】（D）

【命题意图】本题考查双曲线的性质，中等题．

（8）从
中任取一数，从
中任取两个数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为

（A）
（B） （C） （D）

【答案】（B）

【命题意图】本题考查排列组合的知识，中等题．

（9）数列
的前项和为
，若
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】（A）

【命题意图】本题考查递推数列通项公式的求法，中等题．

（10）已知函数
，则下列结论正确的是

（A）
在
上恰有一个零点 （B）
在
上恰有两个零点

（C）
在
上恰有一个零点 （D）
在
上恰有两个零点

【答案】（C）

【命题意图】本题考查导数的应用，考查函数零点的知识，较难题．

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

（11）若
展开式中的所有二项式系数和为
，则该展开式中的常数项为　▲　．

【答案】．

【命题意图】本题考查二项式定理的基础知识，容易题．

（12）设平面区域是由双曲线
的两条渐近线和抛物线
的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点
，则目标函数
的最大值为　▲　．

【答案】．

【命题意图】本题考查双曲线和抛物线的基础知识，考查线性规划，容易题．

（13）执行下边的程序框图，输出的
　▲　．



【答案】
．

【命题意图】本题考查程序框图，容易题．

（14）
中，向量
与
的夹角为
，
，则
的取值范围是　▲　．

【答案】
．

【命题意图】本题考查向量及三角函数的综合运用，较难题．

（15）如图，设是棱长为的正方体的一个顶点，过从顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，截去个三棱锥，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：

① 有个顶点； ② 有
条棱； ③ 有个面；

④ 表面积为
； ⑤ 体积为
．

其中正确的结论是　▲　（写出所有正确结论的编号）．

【答案】①②⑤．

【命题意图】本题考查空间想象能力，较难题．

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（16）（本小题满分12分）

已知函数
的最小正周期为
．

（Ⅰ）求
的解析式；

（Ⅱ）设
的三边
满足
，且边所对的角为，求此时函数
的值域．

【命题意图】本题考查三角函数、解三角形、基本不等式的基础知识，中等题．

【答案】（Ⅰ）
， ……4分

由题，
及
，得：
，

所以
． ……6分

（Ⅱ）由
，知：
， ……9分

从而
，所以函数
的值域为
． …12分

（17）（本小题满分12分）

甲、乙等名同学参加某高校的自主招生面试，已知采用抽签的方式随机确定各考生的面试顺序（序号为
）．

（Ⅰ）求甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率；

（Ⅱ）记在甲、乙两考生之间参加面试的考生人数为，求随机变量
的分布列与期望．

【命题意图】本题考查概率知识，分布列和期望的求法，考查学生应用知识解决问题的能力，中等题．

【答案】（Ⅰ）只考虑甲、乙两考生的相对位置，用组合计算基本事件数；

设A表示“甲、乙的面试序号至少有一个为奇数”，则
表示“甲、乙的序号均为偶数”，

由等可能性事件的概率计算公式得：

甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率是
. ………………6分

（另解
）

（Ⅱ）随机变量的所有可能取值是0，1，2，3，4，

且