福建省福建师大附中2013届5月高考三轮模拟试卷

数学理科试题

注意事项：

1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；

2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）

1．复数
（是虚数单位）在复平面内对应的点是位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设
，则“
”是“直线
与直线
平行”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知集合
，
,且
,则
（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

4．设z=x+y，其中x，y满足
当z的最大值为6时，
的值为（ ）

A.3 B.4 C.5 D.6

5．阅读如下图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入
，则输出
的值为（ ）

A. 12 B. 6 C. 3 D. 0

6．
的三个内角
对应的边分别
，且
成等差数列，则角
等于（ ）

A .
B.

C.
D.

7．设
，则二项式
展开式中的
项的系数为（ ）

A .
B. 20

C.
D. 160

8.如下图所示，在棱长为2的正方体
内（含正方体表面）任取一点
，则
的概率
（ ）

A.
B.
C.
D.

9．已知平面上的线段及点
，在上任取一点
，线段
长度的最小值称为点
到线段的距离，记作
．设是长为2的线段，点集
所表示图形的面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

10．如下图所示，有三根针和套在一根针上的
个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。

每次只能移动一个金属片；

在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面。

若将
个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为
，则
=（ ）

A. 33 B. 31 C.17 D. 15

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

11．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个长方形的面积和的
，且样本容量为160，则中间一组的频数为

12.在平面直角坐标系
中，若双曲线
的焦距为8，则

13.如图，矩形
的一边
在
轴上，另外两个顶点
在函数
的图象上.若点
的坐标为

且
，记矩形

的周长为
，则

14．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为

15.我国齐梁时代的数学家祖暅（公元5-6世纪）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．

设：由曲线
和直线
，
所围成的平面图形，绕
轴旋转一周所得到的旋转体为
；由同时满足
，
，
，
的点
构成的平面图形,绕
轴旋转一周所得到的旋转体为
.根据祖暅原理等知识，通过考察
可以得到
的体积为

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．(本小题满分13分)

已知
为坐标原点，对于函数
，称向量
为函数
的伴随向量，同时称函数
为向量
的伴随函数．

（Ⅰ）设函数
，试求
的伴随向量
的模；

（Ⅱ）记
的伴随函数为
，求使得关于
的方程
在
内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围．

17．（本小题满分13分）

某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：

奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．

（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；

（Ⅱ）记
为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量
的分布列和数学期望．

18．（本小题满分13分）

如图，
是半圆
的直径，
是半圆
上除
、
外的一个动点，
垂直于半圆
所在的平面，
∥
，
，
，
．

⑴证明：平面
平面
；

⑵当三棱锥
体积最大时，求二面

角
的余弦值．

19．（本小题满分13分）

已知圆
，椭圆
．

（Ⅰ）若点
在圆
上，线段
的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点
的横坐标；

（Ⅱ）现有如下真命题：

“过圆
上任意一点
作椭圆
的两条切线，则这两条切线互相垂直”；

“过圆
上任意一点
作椭圆
的两条切线，则这两条切线互相垂直”．

据此,写出一般结论，并加以证明．

20．（本小题满分14分）已知函数
，
（
）

（1）若函数
存在极值点，求实数b的取值范围；

（2）求函数
的单调区间；

（3）当
且
时，令
，
(
)，
(
)为曲线y=
上的两动点，O为坐标原点，能否使得
是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由。

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．

（1）(本小题满分7分)选修4－2：矩阵与变换

已知矩阵A=
有一个属于特征值1的特征向量
.

(Ⅰ) 求矩阵A；

(Ⅱ) 若矩阵B=
，求直线
先在矩阵A，再在矩阵B的对应变换作用下的像的方程.

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程．

已知曲线
的极坐标方程是
，直线的参数方程是
（为参数）．

（Ⅰ）将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线与
轴的交点是
,
是曲线
上一动点,求
的最大值.

(3)（本小题满分7分）选修
：不等式选讲

（I）试证明柯西不等式：

（II）已知
，且
，求
的最小值．

福建省福建师大附中2013届5月高考三轮模拟试卷

数学理科试题参考答案

1-5 DCDAB 6-10 BCADB 11、32 12、3 13、216 14．
15.

16．解：（Ⅰ）∵

， ……… 2分

∴
． ………………………… 4分

故
. ……………………… 5分

（Ⅱ）由已知可得

，………………7分

∵
， ∴
，

故
. ……………………… 9分

∵当
时，函数
单调递增，且
；

当
时，函数
单调递减，且
.

∴使得关于
的方程
在
内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围为
． … 13分

17．（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件
，

则
，

故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为
． ………………4分

（Ⅱ）解：随机变量
的所有取值为
． ………………5分

，
，

，
，

． ………………10分

所以，随机变量
的分布列为:



























 ………11分

． ………………13分

18．（Ⅰ）证明：因为
是直径，所以
………………1分，

因为
平面
，所以
………………2分，

因为
，所以
平面
………………3分

因为
，
，所以
是平行四边形，
，所以
平面
………………4分，

因为
平面
，所以平面
平面
………………5分

（Ⅱ）依题意，
………………6分，

由（Ⅰ）知

，当且仅当
时等号成立 ………………8分

如图所示，建立空间直角坐标系，则
，
，

，则
，
，
，
……………………9分

设面
的法向量为
，
，即


， ……………………10分

设面
的法向量为
，
，即


，
……………12分

可以判断
与二面角
的平面角互补
二面角
的余弦值为
。 ……………………13分

19. 解法一：

（Ⅰ）设点
，则
， （1）　　 ……………………1分

设线段
的垂直平分线与
相交于点
，则