康杰中学2013年数学（理）模拟训练卷（二）

2013.4.20

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集
，集合
，则集合
=（　　）

A.
　　　　　 B.

C.
　　　 　 D.

2. 在复平面内，复数
对应的点在　（　　）

A. 第一象限　　　B.第二象限　　　 C.第三象限 　　　D.第四象限

3.已知数列
是等差数列，且
，则
的值为

A.
　　　　 B.
　　　　 C.
　　　 D.

4. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．

C．
D．

5. 已知
、
是双曲线
的两个焦点，以线段
为边作正
，若边
1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为　　（　　）

A.　
　　 B.
　　　 C.
　　　D.

6. 按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是　（　　）

A.5　　　 B. 6　　　 C.7　　　 D.8

7. 若
的展开式中第四项为常数项，则n=（ ）

A.4　　　 B.5　　　 C.6　　　 D.7

8. 函数
　　（　　）

A.在
上递增，在
上递减

B.在
上递增，在
上递减

C.在
上递增，在
上递减

D.在
上递增，在
上递减

9. 已知向量
，若
则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.已知抛物线
上存在关于直线
对称的相异两点
，则
等于

（　　）

A. 3　　　 B.4　　　 C.
　　　 D.

11. 点
在同一个球的球面，
,
,若四面体
体积的最大值为
，则这个球的表面积为　　（　　）

A.
　　 B.
　　　 C.
　　　 D.

12.设函数
，对任意
恒成立，则实数
的取值范围是（　　）

A.
　　　B.
　　　C.
　　　D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13. 已知函数
在区间
上为增函数，则实数
的取值范围是_______.

14.设
，
是曲线
与
围成的区域，若在区域
上随机投一点
，则点
落入区域
的概率为　　　　　　　.

15．在平面直角坐标系中，若不等式组
（
为常数）所表示的平面区域

的面积等于2，则
的值为_____________.

16. 在
中，
，则
　　　　　。

三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤

17. （本小题满分12分）

已知数列
的前
项和
，满足
。

（Ⅰ）求数列
的前三项
；

（Ⅱ）求证：数列
为等比数列，并求出
的通项公式。

18. （本小题满分12分）

某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取
人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

组数

分组

低碳族的人数

占本组的频率



第一组

[25,30)

120

0.6



第二组

[30,35)

195

p



第三组

[35,40)

100

0.5



第四组

[40,45)

a

0.4



第五组

[45,50)

30

0.3



第六组

[50,55]

15

0.3





（Ⅰ）补全频率分布直方图并求
的值；

（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为
，求
的分布列和期望

19. （本小题满分12分）

如图，三棱柱
的侧棱
底面
，
，
是棱
上动点，
是
的中点，

（Ⅰ）当
是
中点时，求证：
∥平面
；

（Ⅱ）在棱
上是否存在点
，使得二面角
的余弦值是
，若存在，求
的长，若不存在，请说明理由。

20. （本小题满分12分）

设椭圆
的离心率
，右焦点到直线
的距离
，
为坐标原点。

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过点
作两条互相垂直的射线，与椭圆
分别交于
两点，证明点
到直线
的距离为定值，并求出定值。

21. （本小题满分12分）

已知函数
，且
在
处的切线斜率为
。

（Ⅰ）求
的值，并讨论
在
上的单调性；

（Ⅱ）设函数
，其中
，若对任意的
总存在
，使得
成立，求
的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
的角平分线
的延长线交它的外接圆于点
。

（Ⅰ）证明：
∽
；

（Ⅱ）若
的面积
，求
的大小。

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲

已知曲线
的极坐标方程是
，以极点为原点，极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线
的

参数方程为
　　（
为参数）

（Ⅰ）写出直线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设曲线
经过伸缩变换
得到曲线
，设曲线
上任意一点为
，求
的最小值。

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知
，设关于
的不等式
的解集为
。

（Ⅰ）若
，求
；

（Ⅱ）若
，求
的取值范围。

高三数学（理）模拟（二）答案

1．∵
，∴
，故选C

2．∵
，　∴点
在第二象限，故选B。

3．∵
，∴
，∴
，

∴
，故选A。

4．D 解析：由三视图可知，此几何体为底面半径r为1cm、高h为3cm的圆柱上部去掉一个半径为R为1cm的半球，所以其体积为

5．D
，则
中点为
，则
舍去)。

6．B　按框图推演可得
的值为6，故选B

7．B　
的展开式中第四项为
，又第四项为常数项，所以
，从而
，故选B。

8．A　
当
时，
为增函数，当
时，
为减函数。

9．C　解析：本题考查了共线向量的坐标运算及等比性质。∵
∴向量
与
平行，且
∴

10．C　设
，则

　得

11. C ∵
，∴
是直角三角形，

∴
的外接圆的圆心是边AC的中点O1，如图所示，若使四面体ABCD体积的最大值只需使点D到平面ABC的距离最大，又
平面ABC，所以点D是直线
与球的交点

设球的半径为R，则由体积公式有：

在
中，
，解得：

，故选C

12．C　
恒成立，即
恒成立，若
，则
在
上为增函数，不恒小于0，故
，此时，
为减函数，只需当
时恒成立，即
，解得

13．

14．
　由题知：此题是几何概型问题，从而

15．3 解析：当
时，不等式组所表示的平面区域如图中的M，是一个无限的角形区域，面积不可能为2，故只能
，此时不等式组所表示的平面区域如右图中的N，区域为三角形区域，若这个三角形的面积为2，则
，即点B的坐标为（1，4），所以
.

16．
　

又
　∴
　　∴
　　∴

再由余弦定理得：
　①

将
展开得：
　

∴将其角化边得：
②

将①代入②得：
左右两边同除以
得：
　③

解③得：
或
（舍） ∴

17．解：(Ⅰ)在
中分别令
得：

　　　解得：
　　　

(Ⅱ)由
　得：

两式相减得：

故数列
是以
为首项，公比为2的等比数列。

所以