康杰中学2013年数学（文）模拟试题（二）

命题人：杨淑艳 审题人：张阳朋

2013.4

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合
，则集合M与集合N的关系是（ ）

A．
B．

N C．N
M D．

2．复数
的共轭复数对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．命题
，函数
，则（ ）

A．
是假命题；

B．
是假命题；

C．
是真命题；

D．
是真命题；

4．在图1的程序框图中，输出的S的值为（ ）

A．12 B．14

C．15 D．20

5．已知向量
满足：
，且
，则
的夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知公差不为0的等差数列
满足
成等比数列，
为
的前n项和，则
的值为（ ）

A．2 B．3 C．
D．4

7．图2是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：cm），可知这个几何体的表面积是（ ）

A．
B．

C．
D．

8．函数
的图象如图所示，为了得到函数
的图象，只需将
的图象（ ）

A．向右平移
个单位 B．向左平移
个单位

C．向右平移
个单位 D．向左平移
个单位

9．在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知双曲线
的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B，C使得
为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率
的取值范围是（ ）

A．（1，3） B．（
） C．（1，2） D．（
）

11．
是函数
的零点，
，则（ ）

①
②
③
④

其中正确的命题为（ ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

12．设函数
，其中
表示不超过
的最大整数，如
，若直线
与函数
的图象恰有三个不同的交点，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知在圆
上存在相异两点关于直线
对称，则实数
的值为__________.

14．设
满足约束条件
，则
的最大值是__________.

15. 已知三棱锥
内接于球O，
，
，则球O的表面积为__________.

16.
中，角
所对的边
成等差数列，且最大角是最小角的2倍，则
__________.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤

17. （本小题满分12分）

已知等比数列
满足
.

（1）求
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前
项的和.

18. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
，

，
平面
，E为PD的中点，

（1）证明：直线
平面
；

（2）求三棱锥
的体积.

19. （本小题满分12分）

某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：

所用时间

（分钟）













人数

25

50

15

5

5



公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额
（元）与乘车时间
（分钟）的关系是
，其中
表示不超过
的最大整数.以样本频率为概率：

（1）求公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率；

（2）估算公司每月用于路途补贴的费用总额（元）.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆
=1（
）的左焦点为
，点F到右顶点的距离为
.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线
与椭圆交于A，B两点，且与圆
相切，求
的面积为
时直线
的斜率.

21. （本小题满分12分）

已知函数

（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）若
在
处有极值，求
的单调递增区间；

（3）是否存在实数
，使函数
在区间
上的最小值是3？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是
的直径，BE为圆O的切线，点C为
上不同于A、B的一点，AD为
的平分线，且分别与BC交于H点，与
交于D点，与BE交于E点，连结BD、CD.

（1）求证：BD平分
；

（2）求证：
.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，以坐标原点O为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.

（1）求曲线
的普通方程；

（2）曲线
的方程为
，设P、Q分别为曲线
与曲线
上的任意一点，求
的最小值.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

（1）解关于
的不等式
；

（2）若
的解集非空，求实数
的取值范围.

康杰中学2013年数学（文）模拟试题（二）参考答案

一、选择题

1. C 解析：
，所以N
M

2. B
,所以
.

3. D
，故
是真命题；

4. C
5+4+3+2+1=15.

5. C

即

.

6. A 设等差数列
的首项为
，公差为
，因为
成等比数列，所以
，即
，所以

7. C由三视图可知这是一个横放的三棱柱，其表面积为

8. D

9. C

10. D 如图1，因为
ABC为等腰直角三角形，所以
，设其中一条渐近线与x轴的夹角为
，则
即
，又上述渐近线的方程为
，所以
，又
，所以
.

11. B

时，

当
时，
，当
时，
，综上，
，
为减函数，∴

12. D 函数
的图象如图2所示，又直线
过定点（－1，0），所以直线与函数有三个不同的交点，则
.

二、填空题

13. 8 解析：圆心（
）在直线
上即
，解得m=8

14. 9 解析：因为
，即为求
的最大值问题，等价于求可行域中的点与定点（－1，－1）的斜率的最大值，根据可行域可知，点（0，4）与点（－1，－1）的斜率最大，最大值为5，即
的最大值为2×5-1=9

15.
解析：
面BCD，
∴

∴
∴

16.
解析：设A为最大角，则
①

，则
，∴
②

由①②得
c，则

三、17. 解：（1）设
，依题意，有

①

②

①－②可得

故
12分

（II）

23. 解（I）原式可化为
2分

即
4分

（II）依题意可设
，由（I）知圆C1圆心坐标C1（2，0）

所以
.

24. 解：（I）由题意原不等式可化为：

即：
或

由
得
或

由
得
或

综上原不等式的解集为

（II）原不等式等价于
的解集非空

令
，即
， 8分

由

所以
所以
10分