莱钢高中高三模拟试题

数学文科 2013.4

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一选择题

1、．设
（i为虚数单位），则
（　　）

A．
B．
C．
D．

2、设全集
，
，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．
B．
C．
D．

3、设a，b为实数，则“
”是“
”的

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

4、函数
的图像关于直线
对称，它的最小正周期为
，则函数
图像的一个对称中心是

A．
B．
C．
D．

5、已知向量a
，若向量
与
垂直，则
的值为 （ ）

A．
B．7 C．
D．

6．若右边的程序框图输出的
是
，则条件①可为（ ）

A．
B．

C．
D．

7、已知圆
与抛物线
的准线相切，则m=

(A)±2
(B)
(C)
(D)±

8、设函数
的图像在点
处切线的斜率为
，则函数
的图像为（ ）

9、已知函数
，则函数
在区间
上的零点个数是 ( )

A．1　　　　　Ｂ．2　　　　Ｃ．3　　　　Ｄ．4

10、函数
的图象为
.有以下结论，其中正确的个数为（ ）

①图象
关于直线
对称; ②函数
)内是增函数;

③由
的图象向右平移
个单位长度可以得到图象
.

A．0 B．1 C．2 D．3

11、设
、
分别为双曲线
的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点
，满足
，且
到直线
的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）

12．定义域为[a，b]的函数
图像的两个端点为A、B，M（x，y）是
图象上任意一点，其中
,已知向量
，若不等式
恒成立，则称函数
上“k阶线性近似”。若函数
在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为

A．
B．

C．
D．

二填空题

13、已知双曲线
的右焦点为(
，0)，则该双曲线的渐近线方程为 ·

14、某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是

15、设实数
满足
，则
的取值范围是

16、已知
为锐角△
的外心，
若
=

+

,且
，则
的值是

三解答题

17、（本小题满分12分）已知函数
．

（1）求函数
的最小正周期；

（2）求函数
在
上的最大值和最小值，并求函数取得最大值和最小值时的自变量
的值．

（3）已知
中，角
的对边分别为
若

求实数
的最小值.

18．（本小题满分12分）从某学校的
名男生中随机抽取
名测量身高，被测学生身高全部介于
cm和
cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[
,
)，第二组[
,
)，…，第八组[
,
]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为
人．

（Ⅰ）求第七组的频率；

（Ⅱ）估计该校的
名男生的身高的中位数以及身高在
cm以上（含
cm）的人数；

（Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为
，事件
{
}，事件
{
}，求
．

19．（本小题满分12分）如图，几何体
中，四边形
为菱形，
，
，面
∥面
,
、
、
都垂直于面
,且
，
为
的中点.

（Ⅰ）求证：
为等腰直角三角形；

（Ⅱ）求证：
∥面
.

20、（本小题满分12分）设数列
为等差数列，且
，
，数列
的前
项和为
，
且
；，

（Ⅰ）求数列
,
的通项公式；

（Ⅱ）若
，
为数列
的前
项和.

21（本小题满分12分）设

(Ⅰ)若
对一切
恒成立，求
的最大值.

（Ⅱ）设
，且
是曲线
上任意两点，若对任意的
，直线AB的斜率恒大于常数
，求
的取值范围；

22、（本小题满分14分）已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过
、
、
三点.

（1）求椭圆
的方程：

（2）若点D为椭圆
上不同于
、
的任意一点，
，当
内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；

（3）若直线
与椭圆
交于
、
两点，证明直线
与直线
的交点在定直线上并求该直线的方程．

答案

选择题

DBDBA CDBBC CD

填空题

13 2X+3Y=0 或 2X-3Y=0 14、
15、
16、

17

-------------------- --------------------3分

（1）
的最小正周期
------------------------4分

（2）

∴当
，即
时，
----------6分

当
或
时，即
或
时，

----------------------------------------8分

（3）

-----------10分

∵b+c=2

∴

当且仅当b=c时取等号

∴a的最小值是1 -------------------------12分

18．（本小题满分12分）

（Ⅰ）第六组的频率为
,所以第七组的频率为

； ……………………………4分

（Ⅱ）身高在第一组[155,160)的频率为
，

身高在第二组[160,165)的频率为
，

身高在第三组[165,170)的频率为
，

身高在第四组[170,175)的频率为
，

由于
，

估计这所学校的800名男生的身高的中位数为
，则

由
得

所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为
…………………………6分

由直方图得后三组频率为
,

所以身高在180cm以上（含180cm）的人数为
人． ………………8分

（Ⅲ）第六组
的人数为4人,设为
,第八组[190,195]的人数为2人, 设为
,则有

共15种情况，

因事件
{
}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件
包含的基本事件为
共7种情况，故
． ……………………10分

由于
，所以事件
{
}是不可能事件，

由于事件
和事件
是互斥事件，所以
………12分

19．（本小题满分12分）

解：（I）连接
，交
于
，因为四边形
为菱形，
，所以

因为
、
都垂直于面
,

又面
∥面
,

所以四边形
为平行四边形 ,则
………2分

因为
、
、
都垂直于面
,则

………………………………………………4分

所以
所以
为等腰直角三角形 ……6分

（II）取
的中点
，连接
、

因为
分别为
的中点，所以
∥
，且

因为
∥
，且
，所以
∥
，且

所以四边形
为平行四边形…………………………………………………………10分

所以
∥
，因为

面
,

面
,

所以
∥面
. ………………………………………………………………………12分

20、解：(Ⅰ) 数列
为等差数列，公差
,

易得
所以
.…………2分

由
，令
，则
，又
，所以.

，则
. …………………………………3分

由
当
时，得
，

两式相减得.
即

又

.所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，

于是
.………………………………………………………………5分

（Ⅱ）
. …………………………………6分

∴

两式相减得
. ………8分

所以
　 ……………9分

从而
. 　 …………………11分

∵

∵a＞0，f′（x）=ex-a=0的解为x=lna．

∴f（x）min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna， ……3分

∵f（x）≥0对一切x∈R恒成立，

∴-alna≥0，∴alna≤0，∴amax=1． ……5分

（II）设
是任意的两实数，且

，故
……6分

不妨令函数
，则
上单调递增，

……8分

，
恒成立

=

故
……12分

22、【解析】：（1）设椭圆方程为

将
、
、
代入椭圆E的方程，得

解得
.∴椭圆