山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学试题（文）

1.设全集
，
,
,则集合B=

Ａ．
B．
Ｃ．
D．

2．若复数
实部与虚部相等，则
的值等于

Ａ．-1 Ｂ．3 Ｃ．-9 Ｄ．9

3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

Ａ．
B．
Ｃ．
D．

4．函数
的定义域为

A.
B.
C.
D.

5. 设
为偶函数“的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

6. 右图给出了一个程序框图，其作用是输入
的值，输出相应的
值．若要使输入的
值与输出的
值相等，则这样的
值有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为

Ａ．－1或 B．1或3 Ｃ．－2或6 D．0或4

8．某校高一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋.已知该队伍有20名同学，统计表如下表.由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到：

下列说法正确的是( )

A．这组数据的中位数是40，众数是39. B．这组数据的中位数与众数一定相等.

C．这组数据的平均数P满足39

9.已知A，B，C，D是函数
一个周期内的图象上的四个点，如图所示，
B为
轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，
在
轴上的投影为
，则
的值为

Ａ．
B．
Ｃ．
D．

10.已知R上可导函数
的图象如图所示，则不等式
的解集为

B．

C．
D．

11．已知O为坐标原点，双曲线

的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，若
，则双曲线的离心率
为

Ａ．2 B．3 Ｃ．
D．

12．等差数列
前
项和为
，已知

则

Ａ．
B．

Ｃ．
D．

13. 200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如下图所示，则时速超过70km/h的汽车数量为

___________ 辆.

14. 指数函数
在
上的最大值与最小值的和为6，则
.

15．已知
满足对任意
都有
成立，则
的取值范围是___ ____．

16.设点
，
，如果直线
与线段
有一个公共点，那么
的最小值为

17．（本小题满分12分）已知向量
记
.

　　（Ⅰ）若
，求
的值；

　　（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是
、
、
，且满足
，若
，试判断△ABC的形状.

18.（本小题满分12分）

一个均匀的正四面体上分别有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c.

(1)记z＝(b－3)2＋(c－3)2，求z＝4的概率；

(2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．

19. （本小题满分12分）如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，
，
,现将梯形沿CB、DA折起，使EF//AB且
，得一简单组合体
如图（2）示，已知
分别为
的中点．

（1）求证：
平面
；

（2）求证：
平面
；

（3）若
,求四棱锥F-ABCD的体积. 图（1）

图（2）

20. （本小题满分12分）已知数列
是等差数列，

（1）判断数列
是否是等差数列，并说明理由；

（2）如果
，试写出数列
的通项公式；

（3）在（2）的条件下，若数列
得前n项和为
，问是否存在这样的实数
，使
当且仅当
时取得最大值。若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由。

21.（本小题满分13分）.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M(0,2)是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝8，证明：直线AB过定点.

22．（本小题满分13分）

已知函数
，其中常数
．

（1）求
的单调区间；

（2）如果函数
在公共定义域D上，满足
，那么就称
为
与
的“和谐函数”．设
，求证：当
时，在区间
上，函数
与
的“和谐函数”有无穷多个．

参考答案

一；选择题

1：C 2:A 3:B 4:C 5:A 6:C 7:D 8:C 9:A 10:B 11:C 12：B

二：填空题

13:20 14:2 15:
16：

三：解答题

17．解：

……2分

（I） 由已知
得
，于是
，

∴
……6分

（Ⅱ） 根据正弦定理知：

......8分

∵
……10分

∴
或

或
而

，

所以
，因此
ABC为等边三角形.……………12分

18．解：正四面体投掷两次，基本事件(b，c)共有4×4＝16个．

(1)当z＝4时，(b，c)的所有取值为(1,3)，(3,1)．所以P(z＝4)＝＝.

(2)①若方程一根为x＝1，

则1－b－c＝0，即b＋c＝1，不成立．

②若方程一根为x＝2，

则4－2b－c＝0，即2b＋c＝4，所以

③若方程一根为x＝3，

则9－3b－c＝0，即3b＋c＝9.所以

④若方程一根为x＝4，

则16－4b－c＝0，即4b＋c＝16，所以

综合①②③④知，(b，c)的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，所以，“漂亮方程”共有3个，方程为“漂亮方程”的概率为P＝.

19.解 （1）证明：连结
，∵四边形
是矩形，
为
中点，

∴
为
中点，--------------------------------------------------------------1分

在
中，
为
中点，故
--------------------------2分

∵
平面
，
平面
，
平面
；---3分

（2）依题意知
且

∴
平面

∵
平面
，∴
，------------------4分

∵
为
中点，∴

结合
，知四边形
是平行四边形

∴
，
----------------------------------------------------6分

而
，∴
∴
，即
-

又
∴
平面
，---------------------------------8分

（3）：过F点作
交AB于Q点，由（2）知△PAE为等腰直角三角形，

∴
，从而
,------------------------------------------9分

∴
，

又由（2）可知
平面ABCD，-----------------------------------------10分

∴
,----------------12分

20. 解：（1）设
的公差为
，则

数列
是以
为公差的等差数列…………3

（2）

两式相减：

…………6分

…………8分

…………8

（3）因为当且仅当
时
最大

…………12分

即

…………12

21.解 (1)因为b＝2，△F1MF2是等腰直角三角形，所以c＝2，所以a＝2，

故椭圆的方程为＋＝1.

(2)证明：①若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)，

联立方程得，消去y，得

(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，

则x1＋x2＝－，x1x2＝.

由题知k1＋k2＝＋＝8，

所以＋＝8，

即2k＋(m－2)＝8.

所以k－＝4，整理得m＝k－2.

故直线AB的方程为y＝kx＋k－2，

即y＝k－2.

所以直线AB过定点.

②若直线AB的斜率不存在，设直线AB的方程为x＝x0，A(x0，y0)，B(x0，－y0)，

则由题知＋＝8，

得x0＝－.此时直线AB的方程为x＝－，显然直线AB过点.

综上可知，直线AB过定点.

22.解：（1）

，常数
）

令
，则
，
……………………………… 2分

①当
时，
，

在区间
和
上，
；在区间
上
，

故
的单调递增区间是
和
，单调递减区间是
……… 3分

②当
时，
， 故
的单调递增区间是
………… 4分

③当
时，
，

在区间
和
上，
；在区间
上
，

故
的单调递增区间是
和
，单调递减区间是
……… 6分

（2）令
，

令
，则
，
………………………………………8分

因为
，所以
，且

从而在区间
上，
，即
在
上单调递减 …… 10分

所以
……………………………………11分

又
，所以
，即
……… 12分

设
（
，则

所以在区间
上，函数
与
的“和谐函数”有无穷多个… 13分