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2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

数学（理）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷两部分。共150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集
，集合
，
，则
为（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 复数
的共轭复数的虚部为（ ）

A.
B.
C. 2 D.

3. 某单位安排2013年春节期间7天假期的值班情况，7个员工每人各值一天. 已知某员工甲必须排在前两天，员工乙不能排在第一天，员工丙必须排在最后一天，则不同的值班顺序有（ ）

A. 120种 B. 216种 C. 720种 D. 540种

4. 已知向量

若
，则
的最小值为（ ）

A．2 B．4 C．
D．

5. 已知双曲线

的一个焦点与抛物线
的焦点重合，则此双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 已知变量
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为（ ）

A．32 B．4 C．8 D．2

7. 已知数列
满足
，
，
，若数列
满足
，则
（ ）

A.
B．
C．
D.

8. 已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）

A．2 B．1 C．
D．

10. 已知四面体
的所有棱长都相等，它的俯视图如下图所示，是一个边长为
的正方形；则四面体
外接球的表面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

11. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
且
，则△ABC的面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

12. 定义域为R的函数
满足
，当
时，
则当
时，函数
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13. 若函数
在点
处的切线为
，则直线
与
轴的交点坐标为_________.

14. 已知
（
为自然对数的底数），函数
，则
__________.

15. 若
展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中
的系数为______.

16. 对于函数
和

，下列说法正确的是 .

（1）函数
的图像关于直线
对称；

（2）

的图像关于直线
对称；

（3）两函数的图像一共有10个交点；

（4）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于30；

（5）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于24.

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

已知函数
，其图象过点

（1）求
的值；

（2）将函数
图象上各点向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，求函数
在
上的单调递增区间.

18.（本小题满分12分）2012年10月莫言获得诺贝尔文学奖后，其家乡山东高密政府准备投资6.7亿元打造旅游带，包括莫言旧居周围的莫言文化体验区，红高粱文化休闲区，爱国主义教育基地等；为此某文化旅游公司向社会公开征集旅游带建设方案，在收到的方案中甲、乙、丙三个方案引起了专家评委的注意，现已知甲、乙、丙三个方案能被选中的概率分别为
，且假设各自能否被选中是无关的.

（1）求甲、乙、丙三个方案只有两个被选中的概率；

（2）记甲、乙、丙三个方案被选中的个数为
，试求
的期望.

19. （本小题满分12分）如图1， 在直角梯形
中，
，
，
，
为线段
的中点. 将
沿
折起，使平面

平面
，得到几何体
，如图2所示.

（1）求证:
平面
；

（2）求二面角
的余弦值.

20. （本小题满分12分）在等差数列
中，
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足
（
），则是否存在这样的实数
使得
为等比数列；

（3）数列
满足
为数列
的前n项和，求
.

21. （本小题满分13分）如图，设
是圆
上的动点，点
是
在
轴上投影，
为
上一点，且
．当
在圆上运动时，点
的轨迹为曲线
. 过点

且倾斜角为
的直线
交曲线
于
两点.

（1）求曲线
的方程；

（2）若点F是曲线
的右焦点且
，求
的取值范围.

22. （本小题满分13分）已知函数
，
（其中
）.

（1）求
的单调区间；

（2）若函数
在区间
上为增函数，求
的取值范围；

（3）设函数
，当
时，若存在
，对任意的
，总有
成立，求实数
的取值范围.

参考答案

DABCC BDBCA BB

13.
； 14. 7； 15. 84； 16.（2）（3）（4）；

17. 解：（1）

……3分

又函数图象过点
，所以
，即

又
，所以
……6分

（2）由（1）知
，将函数
图象上各点向左平移
个单位长度后，得到函数
的图象，可知
.……9分

因为
，所以
，由
和
知函数
在
上的单调递增区间为
和
.……12分

18. 解：记甲、乙、丙三个方案被选中的事件分别为
，则
.

（1）“只有两个方案被选中”可分为三种情形：

①甲未被选中，乙、丙被选中，概率为
.……1分

②乙未被选中，甲、丙被选中，概率为
.……2分

③丙未被选中，甲、乙被选中，概率为
.……3分

以上三种情况是互斥的. 因此只有两个方案被选中的概率为：
.……5分

（2）由题意可知
的可能取值为0，1，2，3.……6分

；

；

由（1）知
；

.……10分

故
.……12分

19. 解析：（1）在图1中， 可得
， 从而
，

故
.

取
中点
连结
， 则
， 又面

面
，

面

面

，
面
， 从而
平面
.

∴
，又
，
.

∴
平面
.

（2）建立空间直角坐标系
如图所示，

则
，
，
，
，

.

设
为面
的法向量，则
即
， 解得
. 令
， 可得
.

又
为面
的一个法向量，∴
.

∴二面角
的余弦值为
.

（法二）如图，取
的中点
，
的中点
，连结
.

易知
，又
，
，又
，
.

又
为
的中位线，因
，
，
，且
都在面
内，故
，故
即为二面角
的平面角.

在
中，易知
；

在
中，易知
，
.

在