山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学试题（理）

出题单位：莱芜二中

注意事项：

1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。

2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑龟墨水签字笔书写，作图时，可用2B铅笔．要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。

3．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．

1.设全集
，
,
,则集合B=

Ａ．
B．
Ｃ．
D．

2．若复数
实部与虚部相等，则
的值等于

Ａ．-1 Ｂ．3 Ｃ．-9 Ｄ．9

3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

Ａ．
B．
Ｃ．
D．

4．设向量
，
，且
，则
等于

Ａ．
B．
Ｃ．
D．

5. 下列推理是归纳推理的是

Ａ．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆

B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

Ｃ．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πab

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

6. 右图给出了一个程序框图，其作用是输入
的值，输出相应的
值．若要使输入的
值与输出的
值相等，则这样的
值有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为

Ａ．－1或 B．1或3 Ｃ．－2或6 D．0或4

8．下列四个判断：

①
；

②已知随机变量X服从正态分布N（3，
），P（X≤6）=0．72，则P（X≤0）=0．28;

③已知
的展开式的各项系数和为32，则展开式中x项的系数为20；

④

其中正确的个数有：

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9.已知A，B，C，D是函数
一个周期内的图象上的四个点，如图所示，
B为
轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，
在
轴上的投影为
，则
的值为

Ａ．
B．
Ｃ．
D．

10.已知R上可导函数
的图象如图所示，则不等式
的解集为

B．

C．
D．

11．已知O为坐标原点，双曲线

的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，若
，则双曲线的离心率
为

Ａ．2 B．3 Ｃ．
D．

12．等差数列
前
项和为
，已知

则

Ａ．
B．

Ｃ．
D．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置.

13.若存在实数
使
成立，则实数
的取值范围是 .

14. 指数函数
在
上的最大值与最小值的和为6，则
.

15．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中
米，
米. 为了合理利用这块钢板,将在五边形
内截取一个矩形块
，使点
在边
上. 则矩形
面积的最大值为____ 平方米 .

16.设点
，
，如果直线
与线段
有一个公共点，那么
的最小值为

三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤。

17．（本小题满分12分）已知向量
记
.

　　（Ⅰ）若
，求
的值；

　　（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是
、
、
，且满足
，若
，试判断△ABC的形状.

18.（本小题满分12分）

春节期间，某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品进行促销活动。

⑴)试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率；

⑵商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高100元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为
元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为
元的奖金；若中3次奖，则共获得数额为
元的奖金。假设顾客每次抽奖中获的概率都是
，请问：商场将奖金数额m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？

19. （本小题满分12分）已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿BD将△BCD翻折到△
，使得平面
⊥平面ABD．

（Ⅰ）求证：
平面ABD；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值．

20. （本小题满分12分）已知数列
是等差数列，

（1）判断数列
是否是等差数列，并说明理由；

（2）如果
，试写出数列
的通项公式；

（3）在（2）的条件下，若数列
得前n项和为
，问是否存在这样的实数
，使
当且仅当
时取得最大值。若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由。

21.（本小题满分13分）如图，椭圆
的离心率为
，
轴被曲线
截得的线段长等于
的短轴长。
与
轴的交点为
，过坐标原点
的直线
与
相交于点
，直线
分别与
相交于点
。

（1）求
、
的方程；

（2）求证：
。

（3）记
的面积分别为
，

若
，求
的取值范围。

22．（本小题满分13分）

22.已知函数
，其中常数
．

（1）求
的单调区间；

（2）如果函数
在公共定义域D上，满足
，那么就称
为
与
的“和谐函数”．设
，求证：当
时，在区间
上，函数
与
的“和谐函数”有无穷多个．

答案解析

1.Ｃ 2.Ａ 3. B 4. D 5． C 6. C 7．D 8．A．9．A 10. B 11．C 12．B

13.
14. 2 15． 48 16.

. 17．解：

……2分

（I） 由已知
得
，于是
，

∴
……6分

（Ⅱ） 根据正弦定理知：

......8分

∵
……10分

∴
或

或
而

，

所以
，因此
ABC为等边三角形.……………12分

18.解：⑴设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A，从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品，一共有
种不同的选法……1分，

选出的3种商品中，没有家电的选法有
种……2分

所以，选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为
……4分

⑵设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量
，其所有可能的取值为0，
，
，
。（单元：元）……5分

表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以
……6分

同理，
……7分

……8分

……9分

顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是

……10分2

由
，解得
……11分

所以故m最高定为
元，才能使促销方案对商场有利……12分。

19.证明：（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，

沿直线BD将△BCD翻折成△

可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，

即
，

故
． ………………2分

∵平面
⊥平面
，平面

平面
=
，
平面
，

∴
平面
． ………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
平面ABD，且
，

如图，以D为原点，建立空间直角坐标系
． ………………5分

则
，
，
，
．

∵E是线段AD的中点，

∴
，
．

在平面
中，
，
，

设平面
法向量为
，

∴
，即
，

令
，得
，故
． ………………8分

设直线
与平面
所成角为
，则

． ………………8分

∴ 直线
与平面
所成角的正弦值为
． ………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面
的法向量为
，

而平面
的法向量为
，

∴
，

因为二面角
为锐角，

所以二面角
的余弦值为
． ………………12分

20. 解：（1）设
的公差为
，则

数列
是以
为公差的等差数列…………3

（2）

两式相减：

…………6分

…………8分

…………8

（3）因为当且仅当
时
最大

…………12分

即

…………12

21.（1）
（1分）

又
，得

（2分）

（2）设直线
则
（3分）

=0

（5分）

（3）设直线

，同理可得

（8分）

同理可得

（11分）

（13分）

22解：（1）

，常数
）

令
，则
，
……………………………… 2分

①当
时，
，

在区间
和
上，
；在区间
上
，

故
的单调递增区间是
和
，单调递减区间是
……… 3分

②当
时，
， 故
的单调递增区间是
………… 4分

③当
时，
，

在区间
和
上，
；在区间
上
，

故
的单调递增区间是
和
，单调递减区间是
……… 6分

（2）令
，

令
，则
，
………………………………………8分

因为
，所以
，且

从而在区间
上，
，即
在
上单调递减 …… 10分

所以
…………………………………… 11分

又
，所以
，即
……… 12分

设
（
，则

所以在区间
上，函数
与
的“和谐函数”有无穷多个… 13分