莱芜一中2013年4月高三教学质量调研考试

数学（理）试题

本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．训练时间120分钟，满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知
，其中

为虚数 单位，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

2、如果执行右边的程序框图，那么输出的S等于 （ ）

A、2550 B、2500 C、2450 D、2652

3、若有直线
、
和平面
、
，下列四个命题中，正确的是 （ ）

A、若
，
，则

B、若
，
，
，
则

C、若
，
，则

D、若
，
，
，则

4.如图所示的韦恩图中，
、
是非空集合，定义
*
表示阴影部分集合．若
，
，
，则
*B=（ ）．

A．
B．

C．
D．

5.下列命题正确的个数 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4

（1） 命题“
”的否定是“
”；

（2）函数
的最小正周期为
”是“
”的必要不充分条件；

（3）．
在
上恒成立

在
上恒成立

（4）．“平面向量
与
的夹角是钝角”的充分必要条件是“
”。

6.已知各项为正数的等差数列
的前20项和为100，那么
的最大值为 ( )

A．25 B．50 C．100 D．不存在

7、在
中，“



”是

“角A、B、C成等差数列”的 （ ）

A、充分非必要条件 B、充要条件

C、必要非充分条件 D、既不充分也不必要条件

8、已知实数
、
满足
则
的最小值为（ ）

A、1 B、
C、
D、

9、设
、
，则
，当且仅当
时取等号，利用以上结论，可以得到函数
的最小值为 （ ）

A、169 B、121 C、25 D、16

10．设函数
，则如图所示的函数图象（ ）

A．

B．

C．

D．

11、函数
的图像与函数
的图像所有交点的横坐标之和等于 （ ）

A、2 B、3 C、4 D、6

12、在直角坐标平面中，
的两个顶点A、B的坐标分别为A（－1，0），

B（1，0），平面内两点G、M同时满足下列条件：（1）
（2）
（3）
则
的顶点C的轨迹方程为（ ）

A、

B、

C、

D、

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共26分。

13.设双曲线
的右焦点为
，直线:x=
与两条渐近线交于
两点，如果
是等边三角形，则双曲线的离心率
的值为------------.

14.设函数
，其中
，则
展开式中
的系数为-----.

15.三棱锥
的外接球为球
，球
的直径是
，且
、
都是边长为1的等边三角形，则三棱锥
的体积是----------.

16、设集合
，集合
，
，
满足
且
，那么满足条件的集合A的个数为 -------------.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤

17．（本小题满分12分） 设函数
．

(Ⅰ) 求
的值域；

(Ⅱ) 记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若
，
，
，

求a的值．

18.（本小题满分12分）如图，
中，
两点分别在线段

。现将
沿
折成直二面角
。

（1）求证：当
时，
；（2）当
时，二面角
的大小能否等于
？若能，求出
的值；若不能，请说明理由。

19.（本小题满分12分）现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择. 为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢.

（Ⅰ）求这4人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；

（Ⅱ）求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率；

（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记
，

求随机变量
的分布列与数学期望
.

20. （本小题满分12分）已知数列
的前
项和
（
为正整数）

(Ⅰ)令
，求证：数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；

(Ⅱ)令
，求
并比较
与
的大小。

21. (本小题满分13分）已知椭圆C:
(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2+y2=1上.

(I)求椭圆C的方程；

(II)若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于A,B两点.试探讨k为何值时,三 角形OAB为直角三角形.

22．（本小题满分13 分）已知函数
．

（1）若函数
在区间
上存在极值点，求实数
的取值范围；

（2）当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）求证：
．（
，
为自然对数的底数）

莱芜一中2013年4月高三教学质量调研考试

数学（理）试题答案

一、选择题：BADCBABBCCCC

二、填空题：13. 2 14. 60 15.
16. 83

17.解：（I）

因此
的值域为

（II）由
得
，即
，

又因
，故
。

解法一：由余弦定理
，解得
或2。

解法二：由正弦定理
得

当
时，
，从而
；

当
时，
，从而
。

故a的值为1或2。

18、（1）解：
，
为二面角
平面角，
。 （2分）

（4分）

又当
时，

（6分）

（2）如图建系，则
，

，

设面
法向量
，则

，取
(9分)

设面
法向量
，则

，取
（11分）

，解得

所以当
时，二面角
的大小等于
（12分）

18 解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为
，去参加乙项目联欢的概率为
.设“这4个人中恰有人去参加甲项目联欢”为事件
，
，则
.

（Ⅰ）这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率
--------4分

（Ⅱ）设“这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件
，
，

故
.

∴这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为
.-------8分

(III)
的所有可能取值为0,2,4.

0

2

4















所以
的分布列是

.------------------------------------------------------------------------------12

20. 解：（I）在
中，令n=1，可得
，即

当
时，
，

.

.

又
数列
是首项和公差均为1的等差数列.

于是
.

(II)由（I）得
，所以

①

②

由①-②得

于是确定
的大小关系等价于比较
的大小

由

可猜想当
证明如下：

证法1：（1）当n=3时，由上述验算显示成立。

（2）假设
时

所以当
时猜想也成立

综合（1）（2）可知，对一切
的正整数，都有

证法2：当
时，

综上所述，当

，当
时

20.解：（Ⅰ）

所以椭圆方程为
………4分

（Ⅱ）由已知直线AB的斜率存在，设AB的方程为：

由
得
，

得：
，即
-------6分

设
，

(1)若
为直角顶点，则
，即
，

，所以上式可整理得，

，解，得
，满足
-------8分

（2）若
为直角顶点，不妨设以
为直角顶点，
，则
满足：

，解得
，代入椭圆方程，整理得，

解得，
，满足
-------10分

时，三角形
为直角三角形. -------13分

21（1）函数
定义域为
，
，

由
，当
时，
，当
时，
，

则
在
上单增，在
上单减，函数
在
处取得唯一的极值。

由题意得
，故所求实数
的取值范围为
………3分

(2) 当
时，不等式
．

令