莱钢高中高三模拟试题

数学理科 2013.4

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、．设
（i为虚数单位），则
（　　）

A．
B．
C．
D．

2、设全集
，
，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．
B．
C．
D．

3、下列判断错误的是（ ）

A．“
”是“a < b”的充分不必要条件

B．命题“
”的否定是“
”

C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高

D．若
为假命题，则p，q均为假命题

4、函数
的图像关于直线
对称，它的最小正周期为
，则函数
图像的一个对称中心是

A．
B．
C．
D．

5、已知向量a
，若向量
与
垂直，则
的值为 （ ）

A．
B．7 C．
D．

6．若右边的程序框图输出的
是
，则条件①可为（ ）

A．
B．

C．
D．

7、
展开式中不含
项的系数的和为（ ）

A.-1 B. 1 C. 0 D.2

8、设函数
的图像在点
处切线的斜率为
，则函数
的图像为（ ）

9、已知函数
有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为

A．
B．
C．
D．

10、关于x的不等式
在
上恒成立, 则实数k的取值范围为

A．
B．
C．
D．

11、设
、
分别为双曲线
的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点
，满足
，且
到直线
的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）

12．定义域为[a，b]的函数
图像的两个端点为A、B，M（x，y）是
图象上任意一点，其中
,已知向量
，若不等式
恒成立，则称函数
上“k阶线性近似”。若函数
在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.

13、从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为 ；

14、某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是

15、设实数
满足
，则
的取值范围是

16、已知
为锐角△
的外心，
若
=

+

,且
，则
的值是

三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17、(本小题满分12分)已知函数
．

（1）求函数
的最小正周期；

（2）求函数
在
上的最大值和最小值，并求函数取得最大值和最小值时的自变量
的值．

（3）已知
中，角
的对边分别为
若

求边
的最小值.

18、(本小题满分12分)现有长分别为
、
、
的钢管各
根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取
根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,
），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．

（Ⅰ）当
时,记事件
{抽取的
根钢管中恰有
根长度相等}，求
；

（Ⅱ）当
时,若用
表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,①求
的分布列；

②令
，
，求实数
的取值范围．

19、(本小题满分12分)在如图的多面体中，
⊥平面
，
,
，
，
，
，
，
是
的中点．

(Ⅰ) 求证：
平面
；

(Ⅱ) 求证：
；

(Ⅲ) 求二面角
的余弦值.

20、(本小题满分12分)

设数列
为等差数列，且
，
，数列
的前
项和为
，
且
；，

（Ⅰ）求数列
,
的通项公式；

（Ⅱ）若
，
为数列
的前
项和.

21、(本小题满分13分)已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过
、
、
三点.

（1）求椭圆
的方程：

（2）若点D为椭圆
上不同于
、
的任意一点，
，当
内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；

（3）若直线
与椭圆
交于
、
两点，证明直线
与直线
的交点在定直线上并求该直线的方程．

22、（本小题满分13分）设

(Ⅰ)若
对一切
恒成立，求
的最大值.

（Ⅱ）设
，且
是曲线
上任意两点，若对任意的
，直线AB的斜率恒大于常数
，求
的取值范围；

（Ⅲ）求证：
.

选择题

DBDAA CCBBA CD

填空题

13
14、
15、
16、

17、

-------------------- --------------------3分

（1）
的最小正周期
------------------------4分

（2）

∴当
，即
时，
----------6分

当
或
时，即
或
时，

----------------------------------------8分

（3）

-----------10分

∵b+c=2

∴

当且仅当b=c时取等号

∴a的最小值是1 -------------------------12分

18解：(Ⅰ)事件
为随机事件，
………………………4分

（Ⅱ）①
可能的取值为

2

3

4

5

6

















∴
的分布列为：

……………………………………………………9分

②
…………………………10分

，

，
……………………………………12分

19、(Ⅰ)证明：∵
，

∴
.

又∵
,
是
的中点，

∴
，

∴四边形
是平行四边形，

∴
. ……………2分

∵
平面
，
平面
，

∴
平面
. …………………4分

(Ⅱ) 解法1

解法2

∵
平面
，
平面
，
平面
，∴
，
，

又
,

∴
两两垂直. ……………………5分

以点E为坐标原点，
分别为
轴建立如图的空间直角坐标系.

由已知得，
（0，0，2），
（2，0，0），

（2，4，0），
（0，3，0），
（0，2，2），

（2，2，0）. …………………………6分

20、解：(Ⅰ) 数列
为等差数列，公差
,

易得
所以
.…………2分

由
，令
，则
，又
，所以.

，则
. …………………………………3分

由
当
时，得
，

两式相减得.
即

又

.所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，

于是
.………………………………………………………………5分

（Ⅱ）
. …………………………………6分

∴

两式相减得
. ………8分

所以
　 ……………9分

从而
. 　 …………………11分

∵

21、【解析】：（1）设椭圆方程为

将
、
、
代入椭圆E的方程，得

解得
.∴椭圆
的方程
（3分）

（2）
，设
边上的高为
当点
在椭圆的短轴顶点时，
最大为
，所以
的最大值为
．设
的内切圆的半径为
，因为
的周长为定值6．所以
，所以
的最大值为
．所以内切圆圆心的坐标为
-------------7分

（3）将直线
代入椭圆
的方程
并整理．得

．设直线
与椭圆
的交点
，

由根系数的关系，得
．-----------9分

直线
的方程为：
，它与直线
的交点坐标为

同理可求得直线
与直线
的交点坐标为
．--11分

下面证明
、
两点重合，即证明
、
两点的纵坐标相等：

，

因此结论成立．综上可知．直线
与直线
的交点住直线
上．------13分

22.解：（Ⅰ）∵f（x）=ex-a（x+1），∴f′（x）=ex-a，……1分

∵a＞0，f′（x）=ex-a=0的解为x=lna．

∴f（x）min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna， ……3分

∵f（x）≥0对一切x∈R恒成立，

∴-alna≥0，∴alna≤0，∴amax=1． ……4分

（II）设
是任意的两实数，且

，故
……5分

不妨令函数
，则
上单调递增，

……6分

，
恒成立

=

故
……8分

（