文 科 数 学 模 拟

第I卷 （选择题 共60分）

一、选择题：（本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．已知集合
，则a= (C)

A．1 B．-1 C．±1 D．0

2.在
中，内角
所对边的长分别为
，若
，则
的形状是(D)

A.锐角三角形 B.钝角三角形

C.直角三角形 D.不确定

3. “
”是“函数
的最小正周期为
”的（ A ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是B

A. (x-3)2+(
)2=1 B. (x-2)2+(y-1)2=1

C. (x-1)2+(y-3)2=1 D. (
)2+(y-1)2=1

5.一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为C

A. 长方形； B. 直角三角形； C. 圆； D. 椭圆.

6. 设
表示不同的直线，
表示不同的平面，给出下列四个命题：

①若
∥
，且
则
；

②若
∥
，且
∥
.则
∥
；

③若
，则
∥m∥n ；

④若
且n∥
,则
∥m .

其中正确命题的个数是( B )

A．1 B．2 C．3 D．4

7．点P是曲线y=x2一1nx上任意一点，则点P到直线y=x－2的距离的最小值是B

A．1 B．
C．2 D．2

8．在
中，
°，
为边BC的三等分点，则
等于（ A ）

A.
B.
C.
D.

9.已知各项为正数的等差数列
的前20项和为100，那么
的最大值为 ( A )

A．25 B．50 C．100 D．不存在

10．在图（1）的程序框图中，任意输入一次
与
，

则能输出数对
的概率为 （A）

A．
B．
C．
D．

11. 设双曲线C：
的一条渐近线与抛物线y2 = x的一个交点的横坐标为x0，若x0>1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（ C ）

A.(1，
) B. (
，+∞) C. (1，
) D. (
，+∞)

12. 若函数
在定义域上只有一个零点，则实数a的取值范围是(A)

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二.填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。）

13.已知
，则
的值等于____
___________.

14．已知
，
，则
的最小值为 9 。

15.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第
行有
个数且两端的数均为
，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：
…，则第10行第3个数字是
．

16．函数
的定义域为D，若对任意的
、
，当
时，都有
，则称函数
在D上为“非减函数”．设函数
在
上为“非减函数”，且满足以下三个条件：（1）
；（2）
；（3）
,则
1 、

．

解在（3）中令x=0得
，所以
，在（1）中令
得
，在（3）中令

得
，故
，因
，所以
，故

三、解答题;（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17. （本小题共12分）在
，
分别为角
的对边，若
且

（1）求角A的度数

（2）当
且
的面积
时，求边c的值和
的面积。

解（1）由于
，所以

所以
或1（舍去）

所以

（2）由
及余弦定理得：

由
得c=2

18.（本小题共12分）

为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示：

组别

候车时间

人数



一



2



二



6



三



4



四



2



五



1



（Ⅰ）求这15名乘客的平均候车时间；

（Ⅱ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；

（Ⅲ）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．

解：（Ⅰ）由图表得：

，所以这15名乘客的平均候车时间为10.5分钟.---------3分

（Ⅱ）由图表得：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于
.------6分

（Ⅲ）设第三组的乘客为
，第四组的乘客为
，“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件
.-------------------------------------7分

所得基本事件共有15种，即

，--------------10分

其中事件
包含基本事件8种，由古典概型可得
，即所求概率等于
.--------------------------------------------------------12分

19. （本小题共12分）

如图，四边形
为矩形，
平面
，
，
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）设
是线段
的中点，试在线段
上

确定一点
，使得
平面
17.（共13分）

证明：（Ⅰ）∵
，

∴
，

∴
.----------------------2分

∵
平面
，

∴
，又
，

∴
，---------------------4分

又
，

∴
平面
，

∴
.----------------------6分

（Ⅱ）设
的中点为
，
的中点为
，连接
，----7分

又
是
的中点，

∴
，
.

∵
平面
，
平面
，

∴
平面
.-----------------------------9分

同理可证
平面
，

又
，

∴平面
平面
，

∴
平面
.----------------------------12分

所以，当
为
中点时，
平面
.------13分

20．（本小题共12分）

已知数列

为公差不为
的等差数列，
为前
项和，
和
的等差中项为
，且
．令
数列
的前
项和为
．

（Ⅰ）求
及
；

（Ⅱ）是否存在正整数
成等比数列？若存在，求出所有的
的值；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）因为
为等差数列，设公差为
，则由题意得

整理得

所以
……………3分

由

所以
……………5分

（Ⅱ）假设存在

由（Ⅰ）知，
，所以

若
成等比，则有

………8分

，。。。。。（1）

因为
，所以
，……………10分

因为
，当
时，带入（1）式，得
；

综上，当
可以使
成等比数列。……………12分

21（本小题共12分）如图（6），设点
、
分别是椭圆

的左、右焦点，
为椭圆
上任意一点，且
最小值为
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）若动直线
均与椭圆
相切，且
，试探究在
轴上是

否存在定点
，点
到
的距离之积恒为1？若存在，请求出点
坐标；

若不存在，请说明理由．

解：（1）设
，则有
，

由
最小值为
得
，

∴椭圆
的方程为
．

（2）①当直线
斜率存在时，设其方程为

把
的方程代入椭圆方程得

∵直线
与椭圆
相切，∴
，化简得

同理，

∴
，若
，则
重合，不合题意，∴

设在
轴上存在点
，点
到直线
的距离之积为1，则

，即
，、

把
代入并去绝对值整理，

或者

前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的
恒成立

则
，解得
；、

②当直线
斜率不存在时，其方程为
和
，、

定点
到直线
的距离之积为
；

定点
到直线
的距离之积为
；

综上所述，满足题意的定点
为
或

22．（本小题共14分） 已知函数f（x）=ax－1－lnx（a
R）．

（I）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；

（Ⅱ）若函数f（x）在x=l处取得极值，对
恒成立，求实数b的取值范围；

（Ⅲ）当x>y>e-l时，求证：ex－y>
．

解：（1）

当
时，
函数
在区间
单调递减，不存在极值

当
时，在区间
上单调递减，在区间
单调递增，所以在
处取到极小值

（2）由第一问知

令
可得
在区间
上递减，在区间
单调递减

即

(3)证明

令

因为

显然函数
在
上单调递增

即

在
上单调递增，即

所以当x>y>e-l时， ex－y>
．