绝密 ★ 启用并使用完毕前 试卷类型：A

2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

数学（文）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷两部分。共150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集
，集合
，
，则
为（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 复数
的共轭复数的虚部为（ ）

A.
B.
C. 2 D.

3. 如下图所示的是某单位的男职工进行健康体检时的体重情况的频率分布直方图，已知图中从左到右的前
个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为24，那么该单位共有男职工的人数为（ ）

A. 150 B. 120 C. 48 D. 96

4. 已知双曲线

的一个焦点与抛物线
的焦点重合，则此双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 已知向量

若
，则
的最小值为（ ）

A．2 B．4 C．
D．

6. 已知变量
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为（ ）

A．32 B．4 C．8 D．2

7. 已知数列
满足
，
，
，若数列
满足
，则
（ ）

A.
B．
C．
D.

8. 已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）

A．2 B．1 C．
D．

10. 已知四面体
的所有棱长都相等，它的俯视图如下图所示，是一个边长为
的正方形；则四面体
外接球的表面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

11. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
且
，则△ABC的面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

12. 定义域为R的函数
满足
，当
时，
则当
时，函数
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13. 若函数
在点
处的切线为
，则直线
与
轴的交点坐标为_____________.

14. 已知函数
，则
_____________.

15. 容易计算
；根据此规律猜想
所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为 .

16. 对于函数
和

，下列说法正确的是 .

（1）函数
的图像关于直线
对称；

（2）

的图像关于直线
对称；

（3）两函数的图像一共有10个交点；

（4）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于30；

（5）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于24.

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

已知函数
，其图象过点

（1）求
的值；

（2）将函数
图象上各点向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，求函数
在
上的单调递增区间.

18.（本小题满分12分）中国共产党第十八次全国代表大会期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为
的五个男记者和编号分别为
的四个女记者．要从这九名记者中一次随机选出取两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号
表示事件“抽到的两名记者的编号分别为
、
，且
”．

（1）共有多少个基本事件？并列举出来；

（2）求所抽取的两记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率．

19. （本小题满分12分）如图所示，
平面
，点C在以AB为直径的⊙O上，
，
，点E为线段PB的中点，点M在弧
上，且
∥
．

（1）求证：平面
∥平面PAC；

（2）求证：平面PAC
平面
；

（3）求三棱锥
的体积.

20. （本小题满分12分）在等差数列
中，
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足
（
），则是否存在这样的实数
使得
为等比数列；

（3）数列
满足
为数列
的前n项和，求
.

21.（本小题满分13分）在平面直角坐标系
中，椭圆
的中心为原点，焦点
在
轴上，离心率为
. 过F1的直线
交
于
两点，且
的周长为
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）过圆
上任意一点
作椭圆
的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值.

22.（本题满分13分）已知函数
，
.

（1）求
的单调区间；

（2）设函数
，若存在
，对任意的
，总有
成立，求实数
的取值范围.

参考答案

CADCC BDBCA BB

13.
； 14. 8； 15. 898； 16.（2）（3）（4）；

17. 解：（1）

……3分

又函数图象过点
，所以
，即

又
，所以
……6分

（2）由（1）知
，将函数
图象上各点向左平移
个单位长度后，得到函数
的图象，可知
.……9分

因为
，所以
，由
和
知函数
在
上的单调递增区间为
和
.……12分

18. 解:（1）共有
个基本事件，列举如下：
，
，
，
，
，
，
,
，
，
，
，
，
，
,
，
，
，
，
，
,
，
，
，
，
,
，
，
，
,
，
，
,
，
,
，
，共36个.

（2）记事件“所抽取的记者的编号之和小于
但不小于
”为事件
，即事件
为“
，且
，其中
”，由（1）可知事件
共含有
个基本事件，列举如下：
，
,
，
，
,
，
，
，
,
，
，
,
，
,
共15个；其中“都是男记者”记作事件B，则事件B为“
且
，
”，包含：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共10个；故
.

19.（1）证明：因为点E为线段PB的中点，点
为线段
的中点，

所以
∥
. 因为
平面
，
平面
，

所以
∥平面PAC. ……2分

又因为
∥
，
平面
，
平面
，所以
∥平面PAC. ……3分

因
平面
，
平面
，
，

所以平面
∥平面PAC. ……5分

（2）证明：因为 点C在以AB为直径的⊙O上，所以
，即
.

因为
平面
，
平面
，所以
.……8分

因为
平面
，
平面
，
，

所以
平面