高三数学(理科) 命题人胡守斌

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若复数
，则
在复平面上对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．集合
，
，则

A.
B．
C．
D．

３.已知
，则

A ．2 B ．
C ．3 D．

4．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：

x

2

4

5

6

8



y

20

40

60

70

80



 根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为
，据此模型来预测当x= 20时，y的估计值为

A． 210 B．210．5 C．211．5 D．212．5

5．“
”是“直线
与圆
相切”的

A．充分不必要条件 　　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件 　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件

6．若定义在R上的偶函数
满足
，且当
时，
,则方程
的解个数是

A．0个 B．2个 C．4个 D．6个

７.若命题
；命题
,若命题“
”是真命题，则实数
的取值范围为

A.
B.
C.
D.

８．已知函数
，
是定义在R上的奇函数，当
时，
，则函数
的大致图象为

9. 已知抛物线y2 =4x的焦点为F，准线为
交于A，B两点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是

A．
B．

C．2 D．

10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，

则输出的结果是

A．
B．

C．
D．

11.已知
，点
在线段
上，且
的最小值为1，则
R）的最小值为

A.
B.
C.
D.

12．对于直角坐标平面内的任意两点
、
，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=
，给出下列三个命题：

①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖2+‖CB‖2=‖AB‖2；

③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖．

其中真命题的个数为

A．0 B．1 C．2 D．3

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.

13．若
的二项展开式中
项的系数为
，则实数a = .

14．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中

半圆的直径为2，则该几何体的体积为　　　　.

15.若不等式
对任意
恒成立，

则实数
的取值范围为 ．

16. 函数
的定义域为
，若存在闭区间
，

使得函数
满足：①
在
内是单调函数；

②
在
上的值域为
，则称区间
为
的“倍值区间”．

下列函数中存在“倍值区间”的有_______

①
； ②
；

③
； ④

三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

已知
，
，且
．

（I）将
表示成
的函数
，并求
的最小正周期；

（II）记
的最大值为
，
、
、
分别为
的三个内角
、
、
对应的边长，若
且
，求
的最大值．

18.(本小题满分12分)

从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球（不放回），则试验结束.

（Ⅰ）求第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率；

（Ⅱ）记试验次数为
，求
的分布列及数学期望
．

19.(本小题满分12分)

如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点．

（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；

（Ⅱ）求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小．

20．（本小题满分12分）

设等比数列
的前项和为
，已知
，（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）在
与
之间插入
个数，使这
数组成公差为
的等差数列，求
的前
项和
.

21．(本小题满分12分) 椭圆
的两个焦点为
，M是椭圆上的一点，且满足
．

（Ⅰ）求离心率的取值范围；

（Ⅱ）当离心率e取得最小值时，椭圆上的点到焦点的最近距离为
.

①求此时椭圆G的方程；

②设斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点
、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．

22. (本小题满分14分) 已知曲线
在点
处的切线互相平行，且函数
的一个极值点为
.

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）若函数
的图象与直线
恰有三个交点，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）若存在

，使得
成立（其中
的导数），求实数
的取值范围.

高三理科参考答案

一．选择题

AADCC CDDBA BB

二．填空题

13. －2 14.
15.
16. ①③④

三．解答题

17、解：（I）由
得

即

所以
，

又

所以函数
的最小正周期为

（II）由（I）易得

于是由
即
，

因为
为三角形的内角，故

由余弦定理
得

解得

于是当且仅当
时，
的最大值为
．

18．解：（I）设“第一次试验恰摸到一个红球和一个白球”为设计A，

则
. ………………4分

（II）
；
；
；
；

X的分布列为

X

1

2

3

4



P











……………………10分

……………………12分

19．解：（Ⅰ）∵DE⊥平面ACD，AF
平面ACD，∴DE⊥AF．

又∵AC=AD，F为CD中点，∴AF⊥CD，

因CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE. ……………… 4分

（Ⅱ）取CE的中点Q，连接FQ，因为F为CD的中点，则FQ∥DE，故DE⊥平面ACD，∴FQ⊥平面ACD，又由（Ⅰ）可知FD，FQ，FA两两垂直，以O为坐标原点，建立如图坐标系，

则F（0，0，0），C（
，0，0），A（0，0，
），B（0，1，
），E（1，2，0）．

…………………………6分

设面BCE的法向量
，则
，

即
，取
．…………10分

又平面ACD的一个法向量为
，则

∴面ACD和面BCE所成锐二面角的大小为45°．………………12分

20．解:（Ⅰ）由

）

得

，
），…………………………2分

两式相减得：
，

即

，
），………………………………4分

∵
是等比数列，所以
； 又
则
，∴
，

∴
…………………………6分

（Ⅱ）由（1）知
，则

∵
， ∴
…………………8分

∵
…

∴
①

②…………………10分

①-②得

……………………11分

∴
………………………12分

21. 解：（1）设M（x，y），则

由
………………1分

又M在椭圆上，∴
…………………………2分

∴
，………………3分

又0≤x2≤a2，∴
，………………4分

∵
， ∴
………………5分

（2）①依题意得：
∴

∴椭圆方程是：
………………7分

②．设l：y=kx+m，由

而△＞0可得m2＜32k2+16………………9分

又A、B两点关于过点
、Q的直线对称

∴
，设A（x1，y1），B（x2，y2），则
………10分

∴
………………11分

∴

又k≠0，∴
或

∴需求的k的取值范围是
或
………………12分

22.（Ⅰ）
，依题意有

，即
，所以
…………4分

（Ⅱ）
，

由
，

所以函数
在区间
上递增，在区间
上递减.…………6分

且
.

所以函数
的图象与直线
恰有三个交点，则
，所以实数
的取值范围为
………………9分

（Ⅲ）依题意

成立，

设
，则
，………………10分

①当
时，由
得函数
在
上递增，

所以
得
.…………11分

②当
时，在
上
在
上

所以
恒成立，所以
………………12分

③当
时，在
上
所以函数是减函数，

所以
，
，

又
，所以
………………13分

所以实数
的取值范围为
………………14分