安徽省望江中学

2013届高三第九次模拟考试

数学（理）试题

命题：高三年级数学学科备科组

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）俩部分。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名、考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考场座位号、姓名”与考生本人考场座位号、姓名是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选出其他答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷和题卡一并收回。

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合
，则集合A的子集的个数是 （ ）

A．5 B．6 C． 7 D．8

2． 设复数
是虚数单位，a
），若z1·z2
，则a= （ ）

A． 1 B． －1 C．4 D． －4

3．已知
若
，则x+y= （ ）

A．5 B． －5 C． －3 D．3

4． 用a，b表示两条不同的直线，
表示两个不同的平面，给出下列命题；

①若a⊥b，b∥
，则a⊥
②若
⊥
，a⊥
，则a∥

③若
∥
，b∥
，则
∥
；④若a⊥
，b⊥
，则a∥b

其中真命题的序号是 （　　）

A．①③ B． ①④ C．②③ D．④

5．已知直线
直线
则
是
∥
的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件

6．在△ABC中A：B=1：2，sinC=1，则a：b：c等于 （　　）

A． 1：2：3 B． 3：2：1 C．
D．

7．设数列
是公差
的等差数列，
为其前n项和，若
，则
取最大值时n= （　　）

A． 5 B． 5或6 C．6 D． 6或7

8．函数y=cos2x的图像上所有点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，得到的图像是 （　　）

9．在直角坐标系xOy中，已知曲线
为参数）与曲线
为参数，
有两个公共点，且这两个公共点都在坐标轴上，则a= （ ）

A． 3 B．
C．
D．

10．设点B（x，y）是椭圆
内的一点，M是椭圆上的动点，点A（4，0），当
的最大值为11，最小值为9时，点B的坐标x，y应满足的条件为 （ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

（用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试卷作答，答案无效）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上

11． 如果一个二元一次不等式组表示的平面区域是如图中的阴影部分

（包括边界），则
最大值是

12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果

是 。

13．曲线
与直线
相交形成一个闭合图形，

则该闭合图形的面积为 。

14． 已知三棱锥O－ABC中，A、B、C三点在以O为球心

的球面上，若AB=BC=1，∠ABC=90°，三棱锥O－ABC的体积

为
，则球O的表面积为 。

15．给出下列命题：

①设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，

动点P满足
，则P点

的轨迹一定通过△ABC的内心；②设点G为△ABC的重心，则

③设O是△ABC 所在平面上的一点若有
，则O是△ABC的内心；④设O是△ABC所在平面上的一点，若
则点O为△ABC的垂心；⑤设O是△ABC所在平面上的一点，若

，点O为△ABC的外心。其中正确的有 。

（将所有正确命题的序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，共分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

如图是函数
的部分图像，M，N是它与x轴的两个交点，D，C分别为它的最高点和最低点，点F（0，1）是线段MD的中点，
。

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）在△DCM中，记∠DMN=
，∠CMN=
，

证明：

17．（本小题满分12分）

2012年双十一这一天，某品牌电脑对顾客彩分期付款的方式进行促销，据以往统计顾客采用的付款期数
的分布列为：

1

2

3

4

5



P

0.4

0.2

0.2

0.1

0.1



（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；

（Ⅱ）若经销一台电脑，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，用
表示经销一件该商品的利润，求
的分布列及期望E
。

18．（本小题满分12分）

已知双曲线
的一个焦点是
，离心率
。

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）若以
为斜率的直线
与双曲线C相交于两个不同的点M、N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求实数k的取值范围。

19．（本小题满分13分）

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中

E、F分别为DD1、DB的中点。

（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC1D1；

（Ⅱ）求证：EF⊥B1C；

（Ⅲ）求二面角E－B1C－F余弦值的大小。

20．（本小题满分13分）

已知
，函数
是定义在R上的单调递增函数，且曲线
与坐标轴的交点为A，曲线
与坐标轴的交点为B，
为分别在两条曲线上的点连成线段长的最小值。

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）试求不等式
恒成立时实数m的取值集合。

21．（本题满分13分）

已知数列

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）设
是数列
的前n项和，求证：
。