豫东、豫北十所名校

2013高中毕业班阶段性测试（四）

数学（文）试题

本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I卷 选择题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数
（i为虚数单位）的共轭复数所对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合
，则Venn图中阴影部分表示的集合是

A．[2，3] B．（2，3] C．[0，2] D．（2，+
）

3．设
，向量
，b=（3，—2），且
则|a-b|=

A．5 B．
C．
D．6

4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

A．
B．
C．
D．

5．将函数
的图象向右平移
个单位后得到的函数
的图象，则
的单调递增区间为

A．
B．

C．
D．

6．曲线
在点M（1，1）处的切线与坐标轴围成三角形的面积是

A．
B．
C．
D．

7．如果执行下面的程序框图，输出的S=240，则判断框中为

A．
B．
C．
D．

8．已知双曲线
的离心率为3，有一个焦点与抛物线
的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为

A．
0 B．

y=0

C．
D．

9．如图，半径为5cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1cm的小圆，现将半径为1cm的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币随机完全落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为

A．
B．

C．
D．

10．已知四面体ABCD中，AB=AD=6，AC=4，CD=2
，AB⊥平面ACD，则四面体ABCD外接球的表面积为

A．36
B．88
C．92
D．128

11．设函数
在（
）上既是奇函数又是减函数，则
的图象是

12．若直线
与两坐标轴所围成封闭区域内（不含坐标轴）的整点的个数为
（其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则
=

A．1012 B．2012 C．3021 D．4001

第Ⅱ卷 非选择题

本卷包括必考题和选考题两部分 ，第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—第24题为选考题，考生根据要求作答。

13．如果实数x，y满足条件
，那么目标函数
的最小值为 .

14．已知递增的等比数列

满足
，则数列
的前10项和S10= .

15．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为
，若直线
上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为 .

16．对于
可以按如下的方式进行“分解”，例如72的“分解”中最小的数是1，最大的数是13，若
的“分解”中最小的数是651，则m= .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点（a,b）在直线4xcos
上。

（1）
的值；

（2）若
，求a和c.

18．（本小题满分12分）

某园艺师用两种不同的方法培育了一批珍贵树苗，在树苗3个月大的时候，随机抽取甲、乙两种方式培育的树苗各20株，测量其高度，得到的茎叶图如图（单位：cm）

（1）依茎叶图判断用哪种方法培育的树苗的平均高度大？

（2）现从用甲种方式培育的高度不低于80cm的树苗中随机抽取两株，求高度为86cm的树苗至少有一株被抽中的概率；

（3）如果规定高度不低于85cm的为生长优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为树苗高度与培育方式有关？”

下面临界值表仅供参考：

19．（本小题满分12分）

如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=BD=6.0为AC，BD的交点，将四边形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B—ACD，M为BC的中点，且BD=
.

（1）求证：OM//平面ABD；

（2）求证：平面

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
的中心在原点，右顶点为A（2，0），其离心率与双曲
的离心率互为倒数。

（1）求椭圆的方程；

（2）设过椭圆顶点B（0,b），斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求
的值。

21．（本小题满分12分）

已知函数
的极值点为

（1）求函数
的单调区间，并比较
与
的大小关系；

（2）记函数
的图象为曲线C，设点
是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M
，使得
且曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数
存在“中值相依切线”。

试问：
是否存在“中值相依相切线”？请说明理由。

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选证

如图，四边形ABDE是圆内接四边形，延长AD与CE的延长线交于点B，且AD=DE，AB=2AC.

（1）求证：BE=2AD；

（2）当AC=2，BC=4时，求AD的长。

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线
，以平面直角坐标系
的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线
.

（1）将曲线C1上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的2倍，3倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；

（2）求C2上一点P的l的距离的最大值。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数

（1）当m=5时，求不等式
的解集；

（2）若不等式
对任意实数x恒成立，求m的取值范围。

参考答案

(Ⅱ）由
得
，又
，所以
.………………（9分）

由
，
可得
，

所以
，即
,………………………………………………………………（11分）

所以
.…………………………………………………………………………（12分）

（18）解：（Ⅰ）用甲种方式培育的树苗的高度集中于60～90 cm之间，而用乙种方式培育的树苗的高度集中于80～100 cm之间，所以用乙种方式培养的树苗的平均高度大.……（3分）

（Ⅱ）记高度为86 cm的树苗为
，其他不低于80 cm的树苗为
“从用甲种方式培育的高度不低于80 cm的树苗中随机抽取两株”，基本事件有：

共15个.…………………………………（5分）

“高度为86 cm的树苗至少有一株被抽中”所组成的基本事件有：
共9个，……………（7分）

故所求概率
……………………………………………………………………（8分）

甲方式

乙方式

合计



优秀

3

10

13



不优秀

17

10

27



合计

20

20

40



（Ⅲ）

…………………………（9分）

的观测值

，……………………………（11分）

因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为树苗的高度与培育方式有关.…（12分）

（19）证明：（Ⅰ）因为
，所以四边形
是菱形，…………（2分）

因为点
是菱形
的对角线的交点，所以
是
的中点.

又点
是
的中点，

所以
是
的中位线，所以
.…………………………………………（5分）

因为
平面
,
平面
，所以
平面
.……………………（6分）

（Ⅱ）由题意知，
,

因为
,所以
，
.……………………………………（8分）

又因为菱形
中，

而
,所以
平面
，………………………………………………（10分）

因为
平面
，所以平面
平面
.………………………………（12分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得过点
的直线为
，

由
，得
，

所以
，
，………………………………………………………（7分）

依题意知
，且
.

因为
成等比数列，所以
，又
在
轴上的投影分别为
它们满足
，即
，……（9分）

显然
，

，解得
或
（舍去），………………………（10分）

所以
，解得
，

所以当
成等比数列时，
.…………………………………（12分）

（21）解：（Ⅰ）易知函数
的定义域是
，且
，……………（1分）

因为函数
的极值点为
，所以
，且
,

所以
或
（舍去）,………………………………………………………………（3分）

所以
，
，

当
时，
，
为增函数，

当
时，
，
为减函数，

所以
是函数
的极大值点，并且是最大值点，……………………………………（5分）

所以
的递增区间为
递减区间为
,
.………………………（6分）

曲线在点
处的切线斜率

……………………………（9分）

依题意得

化简可得：
，即
．

设
，上式可化为
,即
．

令
,则
．

因为
,显然
，所以
在
上单调递增,显然有
恒成立．

所以在
内不存在
,使得
成立．……………………………………（11分）

综上所述，假设不成立．所以函数
不存在“中值相依切线”．…（12分）

（22）解：(Ⅰ) 因为四边形
为圆的内接四边形,所以
………（1分）

又
所以
∽
，则
.……………………………（3分）

而
，所以