2013年高中毕业年级第三次质量预测

理科数学试题卷

本试卷分第I卷(选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.

第I卷

一、选择題:本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題给出的四个选项中，只 有一项是符合題目要求的.

1. 已知集合 A={(x，y) |x+y-1=0,x,y
R},B={(x,y) |y=x2+1，x,y
R }，则 集合A
B的元素个数是

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 已知x，y
R，i为虚数单位，若x-1+yi=
，则x+y的值为

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

3. 下列命题中的假命题是

A
B

C
D

4. 设a为实数，函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为
，且
是偶函数， 则曲线：y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为

A. 9x—y—16 = 0 B. 9x+y—16 = 0

C. 6x-y—12 = 0 D. 6x+y—12 = 0

5. 已知实数:x,y取值如下表：

从所得的散点图分析可知:：y与:r线性相关，且
==0. 95x+a，则a的值是

A. 1.30 B. 1. 45 C. 1. 65 D. 1. 80

6. 已知直线l丄平面a，直线m
平面β给出下列命题：

①a//β=>l丄m;②a丄β=>l//m ③l//m=>a丄β；④l丄m=>a// β

其中正确命题的序号是

A.①②③ B.②③④

C.①③ D.②④

7. 如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出 相应的y值,若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的 x值有

A. 1个 B. 2个

C. 3个 D. 4个

8. 函数
且
，在区间
上单调递增，且函数值 从－2增大到2，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为

A. 1 B.
C.
D.

9. 设
则二项式
的展开式中x2项的系数是

A. -1120 B. 1120 C. -1792 D. 1792

10.抛物线y2= 12x的准线与双曲线
的两条渐近线围成的三角形的面积为

A. 6 B.6
C. 9 D.9

11.在ΔABC中，a，b，c 分别是角 A ,B,C 的对边，a=
，b=2，且 1 + 2cos(B + C) =0， 则ΔABC的BC边上的高等于

A.
B.
C.
D.

12. 已知椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线，经楠圆反射后，反射光 线经过椭圆的另一个焦点.今有一水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的两个焦点，长轴 长为2a,焦距为2c，当静止放在点A的小球(半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹 后再回到点A，则小球经过的路径是

A. 4a B. 2(a-c) C. 2(a + c) D.以上答案都有可能

第II卷

本卷包括必考題和选考題两部分.第13題?第21題为必考題，第22題?24題为选考 題.考生根据要求作答.

二、填空题:本大題共4小題,每小題5分，共20分.

13.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1a2=2,a2a3=8，则S10=______.

14.已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是4，8，h，且它的8个顶点都在同一个 球面上，这个球面的表面积为100
，则h= ____.

15.已知函数：y=f(x)的图象与函数y=2-x-1的图象关于直线y=x对称，则f(3)=_____

16.已知
，则
的范围是______.

三.解答題:本大題共6个小題，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分）

已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2,，a3, a4+1成等比数列.

(I)求数列{an}的通项公式；

(II)设
，求数列{bn}的前n项和Sn

18. (本小题满分12分）

为了倡导健康、低碳、绿色的生活理念，某市建立了公共自行车服务系统，鼓励市民租用 公共自行车出行，公共自行车按每车每次的租用时间进行收费，具体收费标准如下：

①租用时间不超过1小时，免费；

②租用时间为1小时以上且不超过2小时，收费1元；

③租用时间为2小时以上且不超过3小时，收费2元；

④租用时间超过3小时，按每小时2元收费(不足1小时的部分按1小时计算）

甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、 乙租用时间不超过一小时的概率分别是0. 5和0. 6;租用时间为1小时以上且不超过2小 时的概率分别是0.4和0.2.

(I)求甲、乙两人所付租车费相同的概率；

(II)设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量
求
的分布列和数学期望E
.

19. (本小题满分12分）

如图所示的几何体中，四边形PDCE为矩形,ABCD为直 角梯形，且
=
90°，平面PDCE丄平面ABCD，AB=AD=
CD=1,PD=

(I)若M为PA的中点，求证:AC//平面MDE;

(II)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小

20. (本小题满分12分）

已知椭圆C:
的离心率
，短轴右端点为A，P(1，0)为线段QA的中点.

(I)求椭圆C的方程；

(II)过点p任作一条直线与椭圆c相交于两点M，N，试问在x轴上是否存在定点Q，使得
=
,若存在,求出点Q的坐标;若不存在，说明理由.

21. (本小题满分12分）

已知函数f(x) =mx-
-lnx,m
R，函数
在[1，+
）上为增函数，且
.

(I )当m=0时，求函数f(x)的单调区间和极值；

(II)求θ的值；

(III)若在[1, e]上至少存在一个x0，使得f(x0）>g(x0)成立，求m的取值范围.

选做題(本小題满分10分，请从22、23、24三个小题中任选一題作答，并用铅笔在对应 方框中涂黑）

22.(本小题满分10分)选修4-1 :几何证明选讲

如图，AB是
0的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是
O的割线，已知AC=AB.

(1)求证：FG//AC;

(II)若CG=1，CD=4，求
的值.

23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是
=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角 坐标系，直线l的参数方程为
(t为参数).

(I)写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；

(II)设曲线C经过伸缩变换
得到曲线
设曲线
上任一点为M(x,y)，求
的取值范围.

24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

已知函数 f(x) = log2(|2x-1|+|x+2|-a).

(I)当a = 4时,求函数f(x)的定义域；

(II)若对任意的x
R，都有f(x)
2成立，求实数a的取值范围.

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数学（理科） 参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

B

D

A

B

C

C

A

B

D

C

D





填空题

13. 1023 14.
15. -2 16.

解答题

17. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设数列
的公差为
，由
和
成等比数列，得

， 解得
，或
，……………………2分

当
时，
，与
成等比数列矛盾，舍去．

， ………………………4分

即数列
的通项公式
…………6分

（Ⅱ）
=
，………………9分

.…………12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设甲、乙所付租车费分别为
由题意可知

………………………………4分

………………………………6分

（Ⅱ）由题意得变量
的所有取值为0,1,2,3,4.

………………………9分

所以
的分布列为：

0

1

2

3

4





0.3

0.34

0.24

0.1

0.02





…………………………12分

19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：连结
,交
与
,连结
，

中，
分别为两腰
的中点 , ∴
.………2分

因为
面
,又
面
，所以
平面
. …………4分

（Ⅱ）解：设平面
与
所成锐二面角的大小为
，以
为空间坐标系的原点，分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，则

，
.

设平面
的单位法向量为
则可设
. ……………………………7分

设面
的法向量
，应有

即：

解得：
，所以
.……………………………10分

，
.……………………………12分

20. （本小题满分12分）

解：(Ⅰ)由已知，
，又
，

即
，解得
，

所以椭圆C的方程为
. ………………………………4分

(Ⅱ)假设存在点
满足题设条件.

当
轴时，由椭圆的对称性可知恒有
，即
；……………6分

当
与x轴不垂直时，设
所在直线的方程为
，代入椭圆方程化简得：

，

设
，则
,

,

， …………………………9分

∵

，

若
， 则
，

即
， 整理得
，

∵
，∴
.
的坐标为
.

综上,在
轴上存在定点
，使得
. ………………………12分

21. （本小题满分12分）

解：(Ⅰ)∵
，∴
，
，

∴
.

令
，则

.

∴
，
和
的变化情况如下表：











+

0







递增

极大值

递减



 即函数
的单调递增区间是
，递减区间为
，

函数
有极大值
； ………………………………4分

(Ⅱ) 由已知
在
上恒成立，

即
，∵
，∴
，

故
在
上恒成立，只需
，

即
，∴只有
，由
,知
； …………8分

(Ⅲ)令

.

.………………………………12分

22．（本小题满分10分）

解：(Ⅰ)因为
为切线，
为割线，
，

又因为
，所以
．

所以
，又因为
，所以
∽
，………………………………3分

所以
，又因为
，所以
，

所以
．………………………………6分

(Ⅱ)由题意可得：
四点共圆，

.

∽
.

.

又

，

=4.………………………………10分

23．（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）直线
的普通方程

曲线
的直角坐标方程
；………………………………4分

（Ⅱ）曲线
经过伸缩变换
得到曲线
的方程为
，

则点
参数方程为
，代入
得，

=

的取值范围是
……………………………10分

24．（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）由题意得
，

.

，
.

.

.

.

.

.

综上所述,函数
的定义域为
.………………………………5分

（Ⅱ）由题意得
恒成立，

即
，

恒成立，

令

显然
时，
取得最小值
，
………………………………10分