2013届第三次六校联考（理）

数学试卷

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分,共4页,总分150分.考试时间150分钟。答题时，将Ⅰ卷答案填涂在答题卡上，将Ⅱ卷答案填写在答题纸上，答在试卷上的无效。

第Ⅰ卷 选择题 （共40分）

注意事项：

1.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本试卷共8小题，每小题5分，共40分。在每列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1.
是虚数单位，复数
的实部为（ ）

A．
B．
C．
D．

2.若命题
:
，则对命题
的否定是（ ）

A．

B．

C．

D．

3.已知数列
中，
，
，若利用如图所示的程

序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

4.已知
的最小值为
，则二项式
展开式中
项的系数为（ ）

A．
B．
C．
D．

5.在平面直角坐标系
中，圆
的方程为
，若直线
上至少存

在一点，使得以该点为圆心，
为半径的圆与圆
有公共点，则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6.在
中，内角
所对的边分别为
，其中
，且
面积为
,

则
（ ）

A．
　 B．
C．
D.

7.在
中，点D在线段BC的延长线上，且
，点O在线段CD上（与点C,D不重合）

若
则x的取值范围（ ）

A．
B．
C．
D．

8.定义域为R的函数
满足
时，

若
时，
恒成立，则实数
的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷 非选择题 （共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9.某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图

如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为______万元.

10．一个几何体的三视图如上图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为_____.

11.已知直线C1：
(t为参数)，C2：
(θ为参数)．

当
时，则C1与C2的交点坐标为________.

12.已知
满足
，且目标函数
的最小值是5，则
的最大值是____.

13.如图，AB是圆
的切线，切点为
，
点在圆内，

与圆相交于
，若
，
，
，

则圆
的半径为 .

14.已知关于
的实系数一元二次不等式
的解集为
，则

的最小值是 ．

三、解答题（本大题共80分）

15.(本题满分13分)已知函数
．

(Ⅰ)求
的最小正周期和值域；

(Ⅱ)若

为
的一个零点，求
的值．

16.(本题满分13分)现有长分别为
的钢管各
根（每根钢管质地均匀、粗细相同

且附有不同的编号），从中随机抽取
根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,
），

再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．

(Ⅰ)当
时,记事件
{抽取的
根钢管中恰有
根长度相等}，求
；

(Ⅱ)当
时,若用
表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,求
的分布列即数学期望.

17.(本题满分13分)如图，
是圆
的直径，点
在圆
上，
,

交
于点
,
平面
,
,
,
,
.

(Ⅰ)证明：
；

(Ⅱ)求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值；

(Ⅲ)求点
到平面
的距离.

18.(本题满分13分)已知函数
，数列
满足
，

(Ⅰ)求数列
的通项公式
；

(Ⅱ)若数列
满足，
,
，求证：
＜
.

19.(本题满分14分)已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半

轴长为半径的圆与直线
相切,过点
（4，0）且不垂直于
轴的直线
与椭圆
相

交于
、
两点。

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)求
的取值范围；

(Ⅲ)若
点关于
轴的对称点是
，证明：直线
与
轴相交于定点。

20.(本题满分14分)设函数

(Ⅰ)当
时，求函数
的最大值；

(Ⅱ)令
（
）其图象上任意一点
处切线的斜率
≤

恒成立，求实数
的取值范围；

(Ⅲ)当
，
，方程
有唯一实数解，求正数
的值．

理数答案

1.C 2. A 3. B 4. A 5 B.6. D 7.D 8.D

9. 10 10.
11.  12. 10 13.
14．8

15解：

（1）

------2分

＝
---------------4分

∴
周期
，值域为
；-------------------6分

（2）由
得
，

又由
得
---------------------8分

∴
故
， -------------10分

此时，

．-------------------------13分

16.解：(Ⅰ)事件
为随机事件，
………………………………………4分

（Ⅱ）①
可能的取值为

-----9分

2

3

4

5

6

















 ∴
的分布列为：

----11分

--------------------------------13分

17.解：(1)
．如图，以
为坐标原点，垂直于
、
、
所在的直线为
轴建立空间直角坐标系．由已知条件得
，

．由
，

得
，
． ---------4分

(2)由（1）知
．

设平面
的法向量为
，

由
得
，

令
得
，
，

由已知
平面
，所以取面
的法向量为
，

设平面
与平面
所成的锐二面角为
，则
，∴平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值为
． ……………9分

(3)
------------13分

19.

(2)解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为
由
得：
---------------4分由
得：
设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则
　　①---------- 6分∴


20.



∴
≥
，

当
时，
取得最大值
，所以
≥
………8分

(3)因为方程
有唯一实数解，



∵
，∴方程(*)的解为
，即
，

解得
………14分