2013年高中毕业年级第三次质量预测

文科数学试题卷

本试卷分第I卷(选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.

第I卷

一、选择题:本大题共12小题,每小齒5分，共60分,在每小題给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 A={(x，y) |x+y-1=0,x,y
R},B={(x,y) | x2+y2=1，x,y
R }，则 集合A
B的元素个数是

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 已知x，y
R，i为虚数单位，若x-1+yi=
，则x+y的值为

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

3. 下列命题中的假命题是

A
B

C
D

4. 设a为实数，函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为
，且
是偶函数， 则曲线：y=f(x)在原点处的切线方程为

A. y=3x B. y=－3x C. y=－3x+1 D. y=3x—1

5. 已知实数:x,y取值如下表：

从所得的散点图分析可知: y与x线性相关，且
==0. 95x+a，则a的值是

A. 1.30 B. 1. 45 C. 1. 65 D. 1. 80

6. 已知直线l丄平面a，直线m
平面β给出下列命题：

①a//β=>l丄m;②a丄β=>l//m ③l//m=>a丄β；④l丄m=>a// β

其中正确命题的序号是

A.①②③ B.②③④

C.①③ D.②④

7. 如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出 相应的y值,若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的 x值有

A. 1个 B. 2个

C 3个 D. 4个

8. 已知z=3x+y，x，y满足
，且z的最大值是最小值的3倍，则m的值是

A.
B.
C .
D.

9. 抛物线y2= 8x的准线与双曲线
的两条渐近线围成的三角形的面积为

A.
B.
C.
D.

10函数
且
，在区间
上单调递增，且函数值 从－2增大到2，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为

A. 1 B.
C.
D.

11.已知椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光 线经过椭圆的另一个焦点.今有一水平放置的楠圆形台球盘，点A、B是它的两个焦点，长轴 长为2a，焦距为2c，当静止放在点A的小球(半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹 后再回到点A,则小球经过的路径是

A. 4a B.2(a-c) C. 2(a+c) D.以上答案都有可能

12. 在ΔABC中，a，b，c 分别是角 A ,B,C 的对边，a=
，b=2，且 1 + 2cos(B + C) =0， 则ΔABC的BC边上的高等于

A.
B.
C.
D.

第II卷

本卷包括必考題和选考題两部分.第13題?第21題为必考題，第22題?24題为选考 題.考生根据要求作答.

二、填空題:本大題共4小題,每小題5分，共20分.

13.如图，在正方形内有一扇形(见阴影部分），扇形对应的圆心是正 方形的一顶点，半径为正方形的边长.在这个图形上随机撒一粒黄豆，它 落在扇形外正方形内的概率为______.(用分数表示）

14.已知数列{an}的通项公式an=2013·sin
，则a1+a2 +…+a2013=_____.

15.已已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是4,8,h，且它的8个顶点都在同一个 球面上，这个球面的表面积为100
，则h= ____..

16. 已知函数：y=f(x)的图象与函数y=2-x-1的图象关于直线y=x对称，则f(3)=____

三.解答題:本大題共6个小題，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.>

17. (本小题满分12分）

已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2,，a3, a4+1成等比数列.

(I)求数列{an}的通项公式；

(II)设bn=an+
，求数列{bn}的前n项和Sn

18. (本小题满分12分）

2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定:居民区 的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米.某城市环保部门在2013年1月1日到 2013年4月30日这120天对某居民区的PM2. 5平均浓度的监测数据统计如下：

(I)在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？

(II)在(I)中所抽取的样本PM2. 5的平均浓度超过75(微克/立方米）的若干天中，随 机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115(微克/立方米）的概率.

19. (本小题满分12分）

如图所示的几何体中，四边形PDCE为矩形,ABCD为直 角梯形，且
=
90°，平面PDCE丄平面ABCD，AB=AD=
CD=1,PD=

(I)若M为PA的中点，求证:AC//平面MDE;

(II)求原几何体被平面PBD所分成的左右两部分的体积比

20. (本小题满分12分）

已知椭圆C:
的离心率
，短轴右端点为A，P(1，0)为线段QA的中点.

(I)求椭圆C的方程；

(II)过点p任作一条直线与椭圆c相交于两点M，N，试问在x轴上是否存在定点Q，使得
=
,若存在,求出点Q的坐标;若不存在，说明理由.

21.(本小题满分12分）

已知函数f(x)=(2-a)lnx-1,g(x) =lnx+ax2+x(a
R),令

(I)当a=0时，求
的极值；

(II)当a<－2时，求
的单调区间；

(III )当－3

选做題(本小題满分10分，请从22、23、24三个小题中任选一題作答，并用铅笔在对应 方框中涂黑）

22.(本小题满分10分)选修4-1 :几何证明选讲

如图，AB是
0的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是
O的割线，已知AC=AB.

(1)求证：FG//AC;

(II)若CG=1，CD=4，求
的值.

23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是
=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角 坐标系，直线l的参数方程为
(t为参数).

(I)写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；

(II)设曲线C经过伸缩变换
得到曲线
设曲线
上任一点为M(x,y)，求
的取值范围.

24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

已知函数 f(x) = log2(|2x-1|+|x+2|-a).

(I)当a = 4时,求函数f(x)的定义域；

(II)若对任意的x
R，都有f(x)
2成立，求实数a的取值范围.

2013年高中毕业年级第三次质量预测

数学（文科） 参考答案

一、选择题

CBDBB CCDAA DC

二、填空题

13．
14. 2013 15.
16. -2

三、解答题

17．解：（Ⅰ）设数列
的公差为
，由
和
成等比数列，得

， ………………………………2分

解得
，或
，

当
时，
，与
成等比数列矛盾，舍去．

. ………………………………4分

即数列
的通项公式为
………………6分

（Ⅱ）
……………………………… 8分

………………………………12分

18. 解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，

第一组抽取
天；第二组抽取
天；

第三组抽取
天；第四组抽取
天. ……………………4分

（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在(75,115]内的4天记为
，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为
．所以6天任取2天的情况有：

共15种． ……………………8分

记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：

共8种． ……………………10分

所求事件A的概率
……………………12分

19.（Ⅰ）证明：连结
,交
于
,连结
，

在
中，
分别为两腰
的中点,∴
………………3分

因为

所以
平面
. ………………6分

（Ⅱ）由四边形
为矩形，知

又平面
平面
，

三棱锥
的体积为

. …………8分

由已知
又平面
平面
，

四棱锥的体积为

.………10分

所以原几何体被平面
所分成的两部分的体积比
. ……… ………………12分

20.解：(Ⅰ)由已知，
，又
，

即
，解得
，

所以椭圆方程为

. …………………4分

(Ⅱ)存在.证明如下:

假设存在点
满足题设条件.

当
轴时，由椭圆的对称性可知恒有
，即
； …………6分

当
与x轴不垂直时，设
所在直线的方程为
，代入椭圆方程化简得：

，

设
，则

.

， ………………………9分

∵

，

若
， 则
， ……………………………………11分

即
， 整理得
，

∵
，∴
.∴
.

综上,在
轴上存在定点
，使得
. ………………………12分

21.解: (Ⅰ)

其定义域为
.…………1分

当
时，
,
. ……………………2分

令

当
时,
当
时,

所以
的单调递减区间为
单调递增区间为

所以当
时,
有极小值
无极大值. ……………………4分

(Ⅱ)

…………5分

当
时，
.令
,得
,或
.

令
,得
.

当
时，
的单调递减区间为

单调递增区间为
…………8分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当
时，
在
上单调递减,

所以

所以

因为对
，
恒成立，

所以
, ……………………………………10分

整理得

又
,所以

又
，得

所以

故实数
的取值范围是
……………………………………12分

22．解：(Ⅰ)因为
为切线，
为割线，

所以
，

又因为
，所以
．

所以
，又因为
，

所以
∽
，

所以
，又因为
，

所以
，

所以
． ……………………5分

(Ⅱ)由题意可得：
四点共圆，

.

∽
.

.

又

，

=4. ………………………………10分

23．解：（Ⅰ）直线
的直角坐标方程
………………………………2分

曲线
的直角坐标方程
. ………………………………4分

（Ⅱ）曲线
经过伸缩变换
得到曲线
的方程为
，

则点
参数方程为
，代入
得，

=

,

的取值范围为
. ………………………………10分

24.解：（Ⅰ）由题意得
，

.

，
,

.

,

，

.

.

综上所述,函数
的定义域为
. ………………………………5分

（Ⅱ）由题意得
恒成立，

即
，

恒成立，

令

显然
时，
取得最小值
，
. ………………………………10分