2013届第三次六校联考

数学（文）试卷

温馨提示：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷共150分。考试用时120分钟。祝同学们考试顺利!

第I卷 选择题 (共40分)

注意事项：

答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上．

每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：

S表示底面积，h表示底面的高

如果事件A、B互斥，那么 棱柱体积

P(A+B)=P(A)+P (B) 棱锥体积

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

（1）已知i是虚数单位，则复数
的实部与虚部的和等于

（A）2 （B）0 （C）－2 （D）1－i

（2）已知变量x,y满足约束条件，

则目标函数z＝3x＋2y的最大值是

（A）4 （B）11 （C）12 （D）14

（3）“
”是“
”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（4）阅读图
所示的程序框图，运行相应的程序，若输入
的值

为
，则输出的
值是

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）设
，
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线围成的三角形的面积等于

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）将函数y＝sin(2x－)的图象先向左平移个单位，然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为

（A）y=－cosx （B）y＝sinx （C）y＝sin(x－) （D）y＝sin4x

（8）如图2，A、B、D、E、F为各正方形的顶点．若向量 ＝x  ＋y ，

则

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷 非选择题（共110分）

注意事项：

1.用黑色签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效。

2.本卷共12小题，共110分。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡上。

（9） 设集合A＝{x||4x－1| 9,xR},B＝{x| 0，xR},则AB＝_____________

（10）数列
中，已知
，
，
，则
____________

(11)将一边长为
的正方形
沿对角线
折起，形成三棱锥
，其正视图与俯视图如

图3所示，则侧视图的面积为______________源:.C

om]

图3

(12)如图4，圆
的直径
，
为圆周上一点，
，过
作圆的切线
，过
作直线
的垂线
，
为垂足，
与圆
交于点
，则线段
的长为

(13)若两个正实数
满足
，并且
恒成立，则实数
的取值范围是____________

(14)已知函数
, 若关于x的方程
有且仅有四个根, 其最大根为t, 则函数
的值域为__________________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（15）（本小题满分13分）

已知锐角ABC三个内角分别为A,B,C，向量＝(sinC＋cosC,2－2sinC)与

向量＝(1＋sinC,sinC－cosC),且.

(Ⅰ)求C的值； (Ⅱ)求函数y＝2sin2A＋cos的值域.

（16）（本小题满分13分）

某市交管部门为了宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了
人，回答问题统计结果如图表所示．

组合

分组

回答正确的人数

回答正确的人数占本组的概率



第1组

[15,25)

5

0.5



第2组

[25,35)



0.9



第3组

[35,45)

27

x



第4组

[45,55)

b

0.36



第5组

[55,65)

3

y





（Ⅰ）分别求出
的值；

（Ⅱ）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2,3,4组每组应各抽取多少人?

（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求:所抽取的人中第

2组至少有1人获得幸运奖的概率．

（17）（本小题满分13分）

如图
，已知在四棱锥
中，底面
是矩形，

平面
，
、
分别是
、
的中点，

若二面角P-CD-A为
，且
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求异面直线PC与AB所成角的大小；

（Ⅲ) 求点
到平面
的距离．

（18）（本小题满分13分）

如图6所示，F1、F2为椭圆C： ＋＝1（
b0）的左、右焦点，D、E分别是椭圆C的右顶点和上顶点，椭圆的离心率e＝，
＝1－ .若点M(x0,y0)在椭圆C上，则

点N(，)称为点M的一个“椭点”，直线l与椭圆交于A、B两点，A、B两点的“椭点”分别为P、Q，已知以PQ为直径的圆过坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）问是否存在过左焦点F1的直线l，使得以PQ为直径的圆过坐标原点？

若存在，求出该直线的方程，若不存在，请说明理由．

（19）（本小题满分14分）

已知在等比数列
中，
，且
是
和
的等差中项.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足b1＋ ＋ ＋……＋ ＝
n（n N*），求
的通项公式
；

（Ⅲ）求数列｛bn｝的前n项和Sn．

（20）（本小题满分14分）

已知函数
，

，令(x)=g(x)+(x).

(Ⅰ)当
＝1时，求函数g(x)在x＝e处的切线方程；

(Ⅱ)当
时，求
的单调区间；

(Ⅲ)当
时，若对
，使得
恒成立，求
的取值范围.

2013届第三次六校联考数学（文）答案

一、选择题：BCBA ACDB

二、填空题：(9) (－，－3)∪[，＋) (10) 1 (11)  (12) 4 (13) ( －4，2) (14)

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（15）（本小题满分13分）

解：(Ⅰ)  sin2C－cos2C－2＋2sin2C＝0即 sin2C＝

因为C是锐角，所以C＝；……………………..6分

(Ⅱ)y＝2sin2A＋cos＝1－cos2A＋cos＝1－cos2A＋cos（－2A）

＝sin2A－cos2A+1＝sin(2A－)+1

 A（，）  y（，2]………………………….13分

（16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）第1组人数
， 所以
，

第2组人数
，所以
，

第3组人数
，所以
，

第4组人数
，所以
，

第5组人数
，所以
. …………5分

（Ⅱ）第2,3,4组回答正确的人的比为
，所以第2,3,4组每组应各依次抽取
人，
人，1人. …………8分

（Ⅲ）记抽取的6人中，第2组的记为
，第3组的记为
，第4组的

记为
， 则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，他们是：

，
，
，
，
，
，
，
，
，

，
，
，
，
，
.

其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：
，
，
，
，
，

，
，
，
.

故所求概率为
. …………13分

（17）（本小题满分13分）

（I）证明：如图，取
的中点
，连接
．

由已知得
且
，

又因为E是
的中点，则
且
，

所以四边形FAEO平行四边形，

∴
又因为
平面
，
平面

平面
4分

（Ⅱ）因为
底面ABCD
又因为底面ABCD为矩形，

，又因为AD=2

，又因为AB//CD

…… …… … … … … …9分

（Ⅲ）【法一】：设
平面
的距离为
，因
，

所以
，
，又因
，
是
的中点所以
，
，
．

作
于
，因为
，

则
,

则
，

因
所以
……………………13分

【法二】因
，所以
，
，

又因
，
是
的中点所以
，
，
．

作
于
，连结
，因
，则
为
的中点，故

所以
平面
，所以平面
平面
，作
于
，则
平面
，所以线段
的长为
平面
的距离。

又
，

所以
……………………………………………13分

（18）（本小题满分13分）

解：（I）e＝ ＝ c=a, b=aS DEF2＝(a-c)b=1－

a=2,b=1故椭圆C的标准方程为＋y2＝1………………………………………………….5分

（Ⅱ） ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－

此时A（－，），B（－，－）所以对应的“椭点”坐标为P（－，），Q（－，－）

·= 0，所以此时以PQ为直径的圆不过坐标原点．

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+)

(4k2+1)x2＋8k2x＋12k2－4＝0 x1＋x2＝ , x1·x2＝

·= ＋y1·y2＝ x1·x2＋k2 (x1＋x2)+3k2＝0 k2＝，k＝．

直线方程为y＝x+或y＝－