河南省中原名校2012—2013学年度高三下期第二次联考

数学（文）试题

命题学校：漯河高中 责任老师：刘清海

（考试时间：120分钟 试卷满分：1 50分）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号， 非选

择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卷面清洁，不折叠，不破损。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的代号为A、B、C、 D的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合
则
等于

A．
B．

C．
D．

2．复数
等于

A．
B．
C．
D．

3．已知p：“x2+ y2 +2x=F为一圆的方程（F∈R）”，q：“F>0”，则p是q的

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知偶函数
满足当x>0时，
，则
等于

A．
B．
C．
D．

5．已知抛物线Cl:y2= 2x的焦点为F1，抛物线C2:y=2x2 的焦点为F2，则过F1且与F1F2垂直的直线
的一般方程式为

A．2x－ y－l=0 B．2x+ y－1=0

C．4x－y－2 =0 D．4x－3y－2 =0

6．已知定义在R上的函数
满足
，如图表示

该函数在区间
上的图象，则
等于

A．3 B．2

C．1 D．0

7．如图；现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次

可以等机会地进入相邻的任意一格（如若它在5处，

` 跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可

以等机会进入l，2，4，5处），则它在第三次跳动后，

进入5处的概率是

A．
B．

C．
D．

8．函数
的部分图象如右图所示，设P是图

象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB等于

A．10 B．8

C．
D．

9．如右图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、

侧视图都是矩形，则该几何体的体积是

A．24

B．12

C．8

D．4

10．已知长方体ABCD—A1B1ClD1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为

A．8
‘ B．16
: C．14
D．18

11．若函数
的零点与
的零点之差的绝对值不超过
，则
可以是

A．
=4x－1 B．
=（x－1）2

C．
=ex－2 D．

12．设A、B为双曲线
同一条渐近线上的两个不同的点，已知向量m=（1，0），
，则双曲线的离心率e等于

A．2 B．
C．2或
D． 2或

第II卷

本卷分为必做题和选做题两部分，13-21题为必做题，22、23、24为选考题。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数
的值域为 ．

14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b．c，且
，则B的大小为 ．

15．设x，y满足约束条件
，若目标函数
的最大值为8，

则a+b的最小值为 ．

16．随机抽取某校甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm）后获得身高数据的茎叶图如图所示，在这20人中，记身高在[150, 160），[160, 170），[170, 180），[180, 190] 的人数依次为Al, A2, A3，A4，则框图中输出的数据为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）曲线
在点
处的切线与x轴交点的横坐标为an．

（1）求an；

（2）设
，求数到
的前n项和Sn．

18．（本小题满分12分）某种产品按质量标准分成五个等级，等级编号依次为1,2,3,4,5．现从一批产品中随机抽取20件，对其等级编号进行统计分析，得到频率分布表如下：

等级

1

2

3

4

5



频率

a

0．2

0．45

b

c



 （1）若所抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有3件，等级编号为5的恰有2件，求a，b，c的值；

（2）在（1）的条件下，将等级编号为4的3件产品记为xl，x2，x3，等级编号为5的2件产品记为yl ,y2，现从xl，x2，x3，yl,y2这5件产品中任取两件（假定每件产品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件品的级编号恰好相同的概率。

19．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF//AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．

（1）求证：NC∥平面MFD；

（2）若EC=3，求证：ND⊥FC;

（3）求四面体NFEC体积的最大值．

20．（本小题满分12分）平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，一2），点C满足
，其中
，且
．

（1）求点C的轨迹方程；

（2）设点C的轨迹与椭圆
交于两点M,N，且以MN为直径的圆过原点，求证：
为定值；

（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率不大于
，求椭圆长轴长的取值范围。

21．（本小题满分12分）设函数
。

（1）当a=l时，求函数
的极值；

（2）当a
2时，讨论函数
的单调性；

（3）若对任意a∈（2，3）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有
成立，求

实数m的取值范围。

【选考题】

请考生在第22、23、24题中任迭一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲

如图，AB、CD是⊙O的两条平行切线，B、D为切点，AC为

⊙O的切线，切点为E．过A作AF⊥CD，F为垂足．

（1）求证：四边形ABDF是矩形；

（2）若AB=4，CD=9，求⊙O的半径．

23．（本小题满分10分）选修4－4:坐标系与参数方程

已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是
=2cos
和
=2a sin
是非零常数）．

（1）将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若两圆的圆心距为
，求a的值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知关于x的不等式|x－3|+|x－4|< 3a2 －7a+4．

（1）当a=2时，解上述不等式；

（2）如果关于x的不等式| x－3|+|x－4|< 23a2－7a+4的解集为空集，求实数a的取值范围．

参考答案

1. C 2. A 3. C 4. D 5. C 6. A 7. C 8. B 9. B 10. B 11.A 12.D

13. [―2, ―1] 14.
15. 4 16. 18

17．解：（1）

切线方程为

令
…………………………………………………………………4分

（2）

……………………………………………………………………6分

………………………………10分

从而
……………………………………………………………………12分

18．解：（1）由频率分布表得
…………2分

因为抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有3件，所以

等级编号为5的恰有2件，所以
…………………………………………4分

从而
. 所以
………………………6分

（2）从产品
中任取两件，所有可能的结果为：

共10种 …………………………………………………………………………………8分

设事件A表示“从产品
中任取两件，其等级编号相同”，则A包含的基本事件为：
共4种 ………………………………10分

故所求的概率
…………………………………………………………12分

19．解答：

（1）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，所以MN∥EF∥CD，MN=EF=CD．所以四边形MNCD是平行四边形，所以NC∥MD，因为NC?平面MFD，所以NC∥平面MFD．????????……………………………………………………………………………4分（2）证明：连接ED，设ED∩FC=O．因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，所以NE⊥平面ECDF，…………………………………………………………………………………5分所以FC⊥NE．又EC=CD，所以四边形ECDF为正方形，所以?FC⊥ED．所以FC⊥平面NED，所以ND⊥FC．?……………………………………………………………………………8分（3）解：设NE=
，则EC=4-
，其中0＜x＜4．由（1）得NE⊥平面FEC，所以四面体NFEC的体积为
，所以
.

当且仅当
，即x=2时，四面体NFEC的体积有最大值2．

20．解：（1）设
，由
可得

有
，即点C的轨迹方程为
………………………………………4分

（2）由

设

则

∵以MN为直径的圆过原点O，

为定值 ……………………………………9分

（3）

∴椭圆长轴的取值范围是
………………………………………………12分

21．解：（Ⅰ）函数的定义域为

当
时，
令

当
时，
；当
时，

单调递减，在
单调递增

，无极大值 ……………………………………………………4分

（Ⅱ）

……………………………………………………5分

当
，即
时，
上是减函数

当
，即
时，令
，得

令
，得

当
，
时矛盾舍 …………………………………………………………7分

综上，当
时，
单调递减

当
时，
单调递减，在
上单调递增………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当
时，
上单调递减

当
时，
有最大值，当
时，
有最小值

……10分

而
经整理得
………12分

22．解：（1）连结OB，并作BO的延长线，

∵AB切⊙O于B，∴OB⊥AB

∵AB∥CD，∴BO⊥CD，∴BO经过D点

∴BD为⊙O直径

又∵AF⊥CD，∴四边形ABDF是矩形………………5分

（2）在RtΔACF中，

由切线长定理得 AB=AE， CE=CD

∴AC=AE+CE=AB+CD=13，CF=CD－DF=CD－AB=5

∴AF=
，从而OB=6

即⊙O的半径长为6………………………………………………………………………10分

23．解：（1）由

所以⊙O1的直角坐标方程为

所以⊙O2的直角坐标方程为
…………………6分

（2）⊙O1与⊙O2的圆心距为
，解得
. ……………………10分

24．解：（1）原不等式
，

当
时，原不等式化为
，

当
时，原不等式化为
；

当
时，原不等式化为

综上，原不等式解集为
…………………………………………5分

（2）

∴当
时，关于
的不等式
的解集是空集，

即有

的取值范围是
………………………………………………………………10分