数学（理科）

班别________学号_______姓名______________得分_______

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（共50分）

一 、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合
，集合
，且
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2. 如图，在复平面内，复数
，
对应的向量分别是
，
，则复数
对应的点位于（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 如图是函数

在一个周期内的图像，M、N分别是最大、最小值点，且
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

4.函数
的图象可能是

A B C D

5． 设变量
满足约束条件：
,则目标函数
取值范围是

A．
B．
C．
D．

6.已知正方体
的棱长为, 长为的线段
的一个端点
在棱
上运动, 另一端点
在正方形
内运动, 则
的中点的轨迹的面积（ ）

A．
B．
C． D．

7．双曲线
一条渐近线的倾斜角为
，离心率为，当
的最小值时，双曲线的实轴长为

A．
B．
C． D．

8．某农科所要在一字排开的
六块试验田中，种植六种不同型号的农作物，根据要求，农作物甲不能种植在第一及第二块试验田中，且农作物乙与甲不能相邻，则不同的种植方法有

A．
种　　　B．
种　　　C．
种　　　D．
种　

9．已知
的图象关于点
对称，函数
对任意
都有
，则

A．
B． C．
D．

10．已知函数
若函数
有三个零点，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共100分）

二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11.函数f（x）=x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）=x2围成的图形的面积等于　 　．

12．
展开式中，含的非整数次幂的项的系数之和为 ．

13． 如果执行如图所示的程序框图，如果输出的值为
，那么判断框中正整数的最小值是 ．

14． 已知点
是单位圆
上的动点，满足
且
，则
．

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分。

15（1）（坐标系与参数方程选做题）直线
与圆
相交的弦长为 ．

15（2）（不等式选讲题）

已知实数
且函数
的值域为
，则a=_______.。

数学（理科）答题卷

命题及审题人：高三数学备课组 2013-3-23

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

11． 12． 13．

14．

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分。

15．（1） （2）

四、 解答题：本题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16． （本小题满分12分）

已知向量
其中a、b、c分别是
的三内角A、B、C的对边长.

（1）求
的值；

（2）求
的最大值.

17．（本小题满分12分）

某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训，以促进教师的专业发展，每位教师可以选择参一项培训、参加两项培训或不参加培．现知全市教师中，选择心理学培训的教师有60%，选择计算机培训的教师有75%，每位教师对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．

(1)任选1名教师，求该教师选择只参加一项培训的概率；

(2)任选3名教师，记
为3人中选择不参加培训的人数，求
的分布列和期望．

18．（本小题满分12分）

20.如图，四棱锥
中，底面
为正方形，
，
平面
，

为棱
的中点．

（1）求证：平面
平面
；

（2）求二面角
的余弦值．

19．（本小题满分12分）

已知等差数列
（
）中,
,
,
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若将数列
的项重新组合，得到新数列
，具体方法如下:
，
，
，
，…,依此类推，第项
由相应的
中
项的和组成，求数列
的前项和
．

20．（本小题满分13分）

已知椭圆
的离心率
，且经过点
，抛物线
的焦点与椭圆
的一个焦点重合．

（1）过的直线与抛物线
交于
两点，过
分别作抛物线
的切线
，求直线
的交点
的轨迹方程；

（2）从圆
上任意一点作椭圆
的两条切线，切点为
，试问
的大小是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是说明理由．

21．（本小题满分14分）

若函数
对任意的实数
，
，均有
，则称函数

是区间上的“平缓函数”.

(1) 判断
和
是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；

(2) 若数列
对所有的正整数都有
，设
,

求证：
.

数学（理科）参考答案

一 、选择题：CBCAA DBDAA

二、 填空题：

11．
12．
13.
14．

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分。

15（1）
（2）1

三 解答题：本题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

解：任选1名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件，“该教师选择计算机培训”为事件，

由题设知，事件与相互独立，且
，
． …………1分

（1）任选1名，该教师只选择参加一项培训的概率是

． …………4分

（2）任选1名教师，该人选择不参加培训的概率是

． …………5分

因为每个人的选择是相互独立的，

所以3人中选择不参加培训的人数
服从二项分布
， …………6分

且
，
， …………8分

即
的分布列是

0

1

2

3





0.729

0. 243

0.027

0.001



 …………10分

所以，
的期望是
． …………12分

（或
的期望是
．）

18．（本小题满分12分）

（1）证明：因为
平面
，所以
．………………2分

因为四边形
为正方形，所以
，

所以
平面
．

所以平面
平面
． ………………6分

（2）解：在平面
内过作直线
．

因为平面
平面
，所以
平面
．

由
两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系
．……8分

设
，则
．

所以
，
．

设平面
的法向量为
，则有

所以
取
，得
．

易知平面
的法向量为
． ……………10分

所以
． ………………10分

由图可知二面角
的平面角是钝角，

所以二面角
的余弦值为
． ……………12分

19．（本小题满分12分）

解析：（1）由
与
解得:
，或
（由于
，舍去），

设公差为
，则
,解得
，所以数列
的通项公式为
．

(4分)

（2）由题意得:

,

而
是首项为,公差为
的等差数列的前
项的和,所以

（8分）

所以
,

所以
，

所以
． （12分）

20．（本小题满分13分）

解析：（1）设椭圆的半焦距为，则
，即
，则
，椭圆方程为
，将点
的坐标代入得
，故所求的椭圆方程为
焦点坐标为
，故抛物线方程为
． （3分）

设直线
，代入抛物线方程得
设
，则
． （4分）

由于
，所以
，故直线
的斜率为
，
的方程为
，即

，同理
的方程为
，令
，即
，显然
，故
，即点
的横坐标是
，点
的纵坐标是
，即点
，故点
的轨迹方程是
． （8分）

（2）当两切线的之一的斜率不存在时，根据对称性，设点在第一象限，则此时点横坐标为
，代入圆的方程得点的纵坐标为
，此时两条切线方程分别为
,此时
，

,若
的大小为定值，则这个定值只能是
． （9分）

当两条切线的斜率都存在时，即
时，设
，切线的斜率为
，则切线方程为
，与椭圆方程联立消元得
．（7分）

由于直线
是椭圆的切线，故

，整理得

． （11分）

切线
的斜率
是上述方程的两个实根，故
，点在圆
上，故
，所以
，所以
． （12分）

综上可知：
的大小为定值，则这个定值只能是
． （13分）

21．（本小题满分14分）

当
时，同理有
成立

又当
时，不等式
，

故对任意的实数
，
R,均有
.

因此
是R上的“平缓函数”. …………… 5分

由于
…………… 6分

取
，
，则
， …………… 7分

因此，
不是区间R的“平缓函数”. …………… 8分