江西省新余市2012—2013学年度高三年级第二次模拟考试

数学试题（文科）

本试卷分为试题卷和答题卷两部分.全卷共150分，考试时间为120分钟.

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卷相应的位置）

1．已知集合A={x|x2-2x≤0，x∈R}，集合B={x||x|≤1，x∈R}，则A∩B为

A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|-1≤x≤2} D． {x|0≤x≤1}

2.已知i是虚数单位，则
在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3．已知幂函数
是定义在区间
上的奇函数，则
为

A．8 B．4 C．2 D．1

4．已知a、b∈R，那么“ab<0”是“方程ax2+by2=1表示双曲线”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

5.设
是不同的直线，
是不同的平面，则下列命题：

①若
②若

③若
④若

其中正确命题的个数是

A.0 B. 1 C.2 D.3

6.已知数列{
}满足
，且
，则
的值是

A.
B.
C.5 D.

7. 函数
的图像如图，
是
的导函数，则下列

数值排列正确的是

A.

B.

C.

D.

8．在平面直角坐标系xOy中，⊙M过原点且与坐标轴交于A(a，0)，B(0，a)两点，其中a>0．已知直线
截⊙M的弦长为
，则a为

A．
B．
C．
D．

9．已知椭圆
(a>b>0)的半焦距为c(c>0)，左焦点为F，右顶点为A，抛物线
与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是

A．
B．
C．
D．

10.若集合具有以下性质：①
，
；②若
，则
，且
时，
．则称集合是“好集”．

(1)集合
是好集； (2)有理数集
是“好集”； (3)设集合是“好集”，若
，则
； (4)设集合是“好集”，若
，则必有
；

(5)对任意的一个“好集”，若
，且
，则必有
.

则上述命题正确的个数是

A.个 B.
个 C.个 D.
个

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为 .

12. 已知函数
则
.

13．已知x>0，y>0，
+
=2，则
的最小值为 ．

14.已知函数
在
处取得极大值,

在
处取得极小值,满足
，
，则

的取值范围是 ．

15.如图，矩形
内放置5个大小相同的正方形，其中

A、B、C、D都在矩形的边上，若向量
，

则
.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，请在答题卡上给出详细的解答过程．

16.（本小题满分12分）

已知函数f(x)=(sinx+cosx)2-2sin2x．

（1）求f(x)的单调递减区间；

（2）A、B、C是△ABC的三内角，其对应的三边分别为a、b、c．若
，
=12，
，且b

17.（本小题满分12分）

有六张纸牌，上面分别写有1，2，3，4，5，6六个数字，甲、乙两人玩一种游戏：甲先取一张牌，记下点数，放回后乙再取一张牌，记下点数。如果两个点数的和为偶数就算甲胜，否则算乙胜.

（1）求点数的和为6的事件发生的概率；

（2）这种游戏规则公平吗？说明理由.

18.（本大题满分12分）

如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，N是BC的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.

（1）求该几何体的体积；

（2）求证：AN∥平面CME；

（3）求证：平面BDE⊥平面BCD.

19.（本小题满分12分）

已知数列{an}，如果数列{bn}满足b1= a1，bn= an + an-1（n≥2，nN*），则称数列{bn}是数列{an}的“生成数列”．

(1）若数列{an}的通项为an=n，写出数列{an}的“生成数列”{bn}的通项公式；

（2）若数列{cn}的通项为cn =2 n +b（其中b是常数），试问数列{cn}的“生成数列”{qn}是否是等差数列，请说明理由；

（3）已知数列{dn}的通项为dn=2n+n，求数列{dn}的“生成数列”{pn}的前n项和T n .

20.（本小题满分13分）

已知函数
.

（1）
是函数的一个极值点，求的值；

（2）求函数
的单调区间；

（3）当
时，函数
，若对任意
，
都成立，求
的取值范围.

21.（本小题满分14分）

已知直线l：y=kx+2(k为常数)过椭圆C：

的上顶点B和左焦点F，直线l被圆O：x2+y2=4截得的弦AB的中点为M．

（1）若|AB|=
，求实数k的值；

（2）顶点为O，对称轴为y轴的抛物线E过线段

BF的中点T且与椭圆C在第一象限的交点为S，

抛物线E在点S处的切线m被圆O截得的弦PQ

的中点为N，问：是否存在实数k，使得O、M、

N三点共线？若存在，请求出k的值；若不存在，

请说明理由．

江西省新余市2012—2013学年度高三年级第二次模拟考试

数学试题（文科）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

DBACB BDADC

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．　　　12．
13．3 14．(1,3) 15．13

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．解：（1）f?(x)=1+sin2x-1+cos2x=
sin(2x+
)，

∴ 当
≤2x+
≤
时，f?(x)单调递减，

解得
≤x≤
，

即f?(x)的单调递减区间为[
，
](k∈Z)． ………………6分

（2）f?(
)=
sin(
+
)=
，即sin(
+
)=
，

∴
+
=
，即A=
．

由
=c·b·cosA=12，cosA=
，得bc=24．①

又cosA=
，得b2+c2=52．

∵ b2+c2+2bc=(b+c)2 =100，b>0，c>0，

∴ b+c=10，②

联立①②，且b

17.解：（1）设“甲胜且点数的和为6”为事件A，甲的点数为x,乙的点数为y,则（x,y）表示一个基本事件.……………2分

两人取牌结果包括（1，1），（1，2），…（1，5），（1，6），（2，1），…（6，1），…（6，6）共36个基本事件；……………4分

A包含的基本事件有（1，5），（2，4），（3，3）（4，2），（5，1）共5个，

所以
所以，编号之和为6且甲胜的概率为
………6分

（2）这种游戏公平。设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C.甲胜即两个点数的和为偶数. ……………8分

所包含基本事件为以下18个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，1），（5，3）（5，5），（6，2），（6， 4），（6，6）………10分

所以甲胜的概率为

………12分

(备注：利用等可能性也给分)

18(1)由题意可知：四棱锥B－ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC，

AB⊥平面ACDE，又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4， …………2分

则四棱锥B－ACDE的体积为：
，

即该几何体的体积为4 …………4分

(2)证明：由题图知，连接MN，则MN∥CD，

且
.又AE∥CD，且
， …………6分

∴
∥
，
=
∴四边形ANME为平行四边形，∴AN∥EM.

∵AN平面CME，EM平面CME，∴AN∥平面CME ……………8分

(3)证明：∵AC＝AB，N是BC的中点，∴AN⊥BC,

又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD …………10分

则(2)知：AN∥EM,

∴EM⊥平面BCD，又EM平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD ………12分

19.（1）解：当n≥2时，
……2分当n = 1时，
适合上式， ∴
……4分

（2）解：
…… 6分当b = 0时，
，由于
，所以此时数列
的“生成数列”
是等差数列当b≠0时，由于
= 2 + b ，
= 6 + 2b ，
= 10 + 2b 此时
，所以此时数列
的“生成数列”
不是等差数列。…8分

（3）解：
……9分当n > 1时，
　　　　　　　=
………11分又n = 1时，
= 3，适合上式 ∴
………12分

（备注：未考虑n=1的扣6分）

20解：（1）函数

，………2分

是函数的一个极值点

解得：
…………4分

(2)

………6分

………8分

（3）当a=2时，由（2）知f(x)在（1，2）减，在（2，+∞）增.

……10分

…………11分

b>0

……12分

解得：0

21.解：（1）圆O的圆心为O（0，0），半径为r=2

∵OM⊥AB，|AB|=

∴
…………… 2分

∴
，∴

又
∴
…………… 5分

（2）∵F(
，0)，B(0，2)，T为BF中点

∴T (
，1) ． 设抛物线E的方程为y=tx2(t>0)，∵抛物线E过T ∴
∴

∴抛物线E的方程为
， ……………………………………………… 7分

∴
，设S(x0，y0)，则
，……………………… 8分

假设O、M、N三点共线，则∵OM⊥l，ON⊥m，∴l//m ，………………… 9分

又
∴
∴
∴
，
…… 10分

∵S在椭圆C上，∴
结合
，
，
，

得
，∴
∴k无实数解，矛盾，∴假设不成立

故不存在实数k，使得O、M、N三点共线．……………………………… 14分