江西省宜春市2013届高三模拟考试

数学（理）试题

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．如图所示的韦恩图中，若
，
，则阴影部分表示的集合为（ ）

A．
B．

C．
或
D．
或

2．设
与
是异面直线，下列命题正确的是（ ）

A．过空间任意一点必可作一直线与
、
相交 B．
、
的公垂线有无数多条

C．不存在两条相交直线与
、
都相交 D．过直线
有且仅有一个平面与
平行

3．函数
的零点所在的区间是 （ ）

A．
B．
C．
D．

4．设函数
，其中
，
，则
的展开式中
的系数为 （ ）

A．
B．
C．
D．

5．使命题“对任意的
”为真命题的一个充分不必要条件为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．设不等式组
所表示的平面区域是
，平面区域
与
关于直线
对称．对于
中的任意一点
与
中的任意一点
，
的最小值等于（ ）

A．
B．4 C．
D．2

7．已知函数
其中
．若
的最小正周期为
，且当
时,
取得最大值，则（ ）

A．
在区间
上是减函数 B．
在区间
上是增函数

C．
在区间
上是减函数 D．
在区间
上是增函数

8．已知函数
，则
的大致图象是（ ）

9．在等差数列
中，
，其前
项和为
，若
，则
的值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

10．定义域为
的函数
图象上两点
，
是
图象上任意一点，其中
．已知向量
，若不等式 对任意
恒成立，则称函数
在
上“
阶线性近似”．若函数
在
上“
阶线性近似”，则实数的
取值范围为 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分，请把正确答

案填在题中横线上）

11．
为虚数单位，如果
为纯虚数，那么实

数
．

12．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果

．

13．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的

体积为 ．

14．已知椭圆
的离心率为
，双

曲线
的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个

交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为 ．

15．（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做则

按所做的第一题评分）

（1）（极坐标与参数方程）在直角坐标系中，以坐标原点为极

点，
轴非负半轴为极轴且单位长度相同建立极坐标系，

曲线
（
为参数）与曲线
的交点个数为 ．

（2）（不等式选讲）不等式
对任意
恒成立的实数
的取值范围为__________．

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、演算过程及步骤）

16．（本小题满分12分）已知函数

在区间
上单调递增，在区间
上单调递减．
中，
、
、
分别为内角
所对的边，且满足
．

（1）证明：
；

（2）如图，点
是
外一点，设

，

，当
时，求平面四边形
面积的最大值．

17．（本小题满分12分）某学校为响应省政府号召，每学期派老师到各个民工子弟学校支教，以下是该学校
名老师上学期在某一个民工子弟学校支教的次数统计结果：

支教次数











人数













根据上表信息解答以下问题：

（1）从该学校任选两名老师，用
表示这两人支教次数之和，记“函数
在区间
上有且只有一个零点”为事件
，求事件
发生的概率
；

（2）从该学校任选两名老师，用
表示这两人支教次数之差的绝对值，求随机变量
的分布列及数学期望
．

18．（本小题满分12分）如图，在边长为4的菱形
中，
．点
分别在边
上，点
与点
不重合，
，
．沿
将
翻折到
的位置，使平面
⊥平面
．

（1）求证：
⊥平面
；

（2）当
取得最小值时，若点

满足
(
)，试探究：

直线
与平面
所成的角是

否一定大于
？并说明理由．

19．（本小题满分12分）已知数列
满足：
（其中常数
）．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
为数列
的前
项和，求证：对于任意
，
．

20．（本小题满分13分）如图，
中，
，
在
轴上且关于原点
对称，
在边
上，
，
的周长为
．若一双曲线
以
为焦点，且经过
两点．

（1）求双曲线
的方程；

（2）若一条过点
（
为非零常数）的直线
与双曲线

相交于不同于双曲线顶点的两点
，且
，问

在
轴上是否存在定点
，使
？若存在，

求出所有这样的定点
的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（本大题满分14分）已知函数
.

（1）若函数
在区间
上存在极值点，求实数
的取值范围；

（2）当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）求证：

,
为自然对数的底数）．

江西省宜春市2013届高三模拟考试数学（理）试题

参考答案

一、选择题： CDCCA，BBBAD

二、填空题

11. 1或－3，12．
,13.
，14.
,15.（1）2， ⑵

三、解答题

16. （本小题满分12分）解：（1）由题意知：
，解得
， ……2分

………………………………………………………4分

…………………………………………………6分

（2）因为
，所以
，所以
为等边三角形

……………………………8分

,
，

当且仅当
即
时取最大值,
的最大值为
………………12分

17．解:(１) 函数
过
点，在区间
上有且只有一个零点，

则必有
即：
，解得：

所以，
　　　　　　　　　　　　　　　　　…………3分

当
时，
，　　　　　　　　 　　…………6分

(２) 从该学校任选两名老师，用
表示这两人支教次数之差的绝对值，

则
的可能取值分别是
，　　　　　　　 　…………7分

于是
，

，
…………10分

从而
的分布列：

0

1

2

3
















的数学期望：
． …………12分

18.（1）证明：∵　菱形
的对角线互相垂直，∴
，∴
，

∵
，∴

∵　平面
⊥平面
，平面
平面

，且
平面
，

∴　
平面
, ∵
平面
，∴　

∵
，∴　
平面
. 5分

（2）如图，以
为原点，建立空间直角坐标系
.

设
因为
，所以
为等边三角形，

故
，
.又设
，则
，
.

所以
，
，
，故
，

所以

当
时，
. 此时
，
7分

设点
的坐标为
，

由前知，
，则
，
，
，
.

所以
，
，

∵
，　

∴


．

∴
，

∴
． 10分

设平面
的法向量为
，则
．

∵
，
，∴
　，

取
，解得：

， 所以
. 10分

设直线
与平面
所成的角
，

∴

．

又∵
∴
． ∵
，∴
．

因此直线
与平面
所成的角大于
，即结论成立． 12分

19.解：(1)当
时,

当
时，

,两式相减得：

又
也适合上式

……… 6分

（2）Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)

当λ＝1时，Sn＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝n2＋2n．

当λ≠1时，Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)
，

λSn＝ 3λ＋5λ2＋…＋(2n－1)λn－1＋(2n＋1)

当
时，左=
=
，结论显然成立。

当
时，左=
=

而

与
同号，故

对任意
都成立。………12分

20.解：(1) 设双曲线
的方程为
，则
．

由
，得
，即
．

∴
………………….3分

解之得
，∴
．

∴双曲线
的方程为
．………………….5分

(2) 设在
轴上存在定点
，使
．

设直线
的方程为
，
．

由
，得
． 即
① …………6分

∵
，
，

∴

．即
． ② ……8分

把①代入②，得
③ ………………….9分

把
代入
并整理得

其中
且
，即
且
．

． ………………….10分

代入③，得
，化简得
．当
时，上式恒成立．

因此，在
轴上存在定点
，使
．………………….13分

21．(1)解：函数f (x)定义域为(0，+∞)，
，由
得：x = 1，当0 < x <1时，
，当x > 1时，
，∴f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，函数f (x)在x = 1处取得唯一的极值 ……… 2分由题意得
，故所求实数a的取值范围为
……… 4分

(2)解： 当x≥1时，不等式
化为：
，即
令
，由题意，k≤g (x)在[1，+∞)恒成立………5分
………6分令
，则
，当且仅当x = 1时取等号所以
在[1，+∞)上单调递增，h (x)≥h(1) = 1 > 0………7分因此
，∴g (x)在[1，+∞)上单调递增，
因此，k≤2，即实数k的取值范围为(－∞，2] ………9分

(3) 由(2)知，当x≥1时，不等式
恒成立，即
，整理得：
………10分令x = k(k + 1)，k∈N*，则有
分别令k = 1，2，3，…，n，则有
，…，
…12分将这n个不等式左右两边分别相加，得
故
，从而
……14分