江西省新余市2012—2013学年度高三年级第二次模拟考试

数学试题（理科）

本试卷分为试题卷和答题卷两部分.全卷共150分，考试时间为120分钟.

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卷相应的位置）

1．已知i是虚数单位，且
，则实数
分别为

A．x=-1，y=1 B．x=-1，y=2

C．x=1，y=1 D．x=-1，y=-2

2.若数列
满足
，则
的值为

A.
B.
C. D.

3.如图，设是图中边长为2的正方形区域，是函数
的

图象与轴及
围成的阴影区域．向中随机投一点，则

该点落入中的概率为

A．
B．
C．
D．

4．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为
，则h的值为

A．
B．

C．
D．

5．若下边的程序框图输出的S是126，则条件①可为

A．n≤5 B．n≤6

C．n≤7 D．n≤8

6.若
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

7．有以下命题：

①命题“
”的否定是：“
”；

②已知随机变量
服从正态分布
，
则
；

③函数
的零点在区间
内.

其中正确的命题的个数为

　A.3个　　　　B.2个　　　C.1个　　　D.0个

8.如图，
是双曲线
：
的

左、右焦点，过
的直线
与
的左、右两支分别交

于
两点．若
为等边三角形，则双曲线的

离心率为

A.
B.
C.
D.

9.已知不同的三点A、B、C满足
(

,
)，使得关于x的方程

有解（点O不在直线AB上），则此方程在实数范围内的解集为

A．
B．{一1，0} C．{－1} D．

10.若集合具有以下性质：①
，
；②若
，则
，且
时，
．则称集合是“好集”．以下有5个命题：(1)集合
是好集；

(2)有理数集
是“好集”；

(3)设集合是“好集”，若
，则
；

(4)设集合是“好集”，若
，则必有
；

(5)对任意的一个“好集，若
，且
，则必有
.

则上述命题正确的个数为

A.个 B.
个 C.个 D.
个

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卷中的横线上）

11．已知
（其中以
为常数且
），如果
，则
的值为 .

12．已知椭圆
是椭圆上两点，有下列三个不等式

①
②
③
.

其中不等式恒成立的序号是　 　　.（填所有正确命题的序号）

13．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如下图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 种．

14．设P是不等式组
　表示的平面区域内的任意一点，向量

，
，若
（
为实数），则
的最大值为　　.

选做题：请在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分.

15(1)设曲线
的参数方程为
，直线
的极坐标方程为

，则曲线
上到直线
的距离为2的点有 个.

(2)若不等式
恒成立，则实数的取值范围为 .

三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(本小题满分12分)

在
中，设角A、B、C的对边分别为
，已知
.

(1)求角
的大小； (2)若
，求
周长的取值范围.

17．（本小题满分12分）

已知
是一个公差大于0的等差数列，且满足
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）令
，记数列
的前项和为
，对于任意的
，不等式
恒成立，求实数的最小值.

18.(本小题满分12分)

在如图所示的几何体中，四边形
是菱形，
是矩形，平面
⊥平面
，
，
，
，是
的中点.

(1)求证：
//平面
；

(2)在线段
上是否存在点，使二面角

的大小为
？若存在，求出

的长；若不存在，请说明理由.

19.(本小题满分12分)

在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为、，设
为坐标原点，点的坐标为
，记
．

(1)求随机变量
=5的概率；

(2)求随机变量
的分布列和数学期望．

20.(本小题满分13分)

已知椭圆
：
的右焦点在圆
上，直线
交椭圆于
、
两点.

(1)求椭圆
的方程；

(2)若
(
为坐标原点)，求的值；

(3)设点
关于轴的对称点为
（
与
不重合），且直线

与轴交于点，试问
的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

21.(本小题满分14分)

已知函数

＞0）.

(1)若
的一个极值点，求的值；

(2)求证：当0＜
上是增函数；

(3)若对任意的
总存在
＞
成立，求实数的取值范围.

江西省新余市2012—2013学年度高三年级第二次模拟考试

数学试题（理科）参考答案

选择题

序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

A

B

B

B

A

A

D

A

C





填空题

11.3 ；12.①②③ ； 13.108 ；14.5； 15.（1）3 ；（2）

三、解答题

16.解(1)由题意知
，

即
,

，即
……………3分

又
，
.………………5分

(2)
，
，

则
的周长为
，………………7分

即
，………………9分

，
，…………11分

即
,

周长的取值范围为
.………………12分

17 （1）解：设等差数列
的公差为d，则依题设d >0

由a2+a7＝16.得
①

由
得
②

由①得
将其代入②得
.即

……………6分

（2）由（1）得

=

=1-
<1

恒成立

m的最小值为100 ……………12分

18.解(1)连接
，设
与
交于，

连接
.由已知，
，
，

故四边形
是平行四边形，F是
的中点.

又因为是
的中点，所以
.………3分

因为
平面
，
平面
，

所以
平面
.……………4分

(2)假设在线段
上存在点，

使二面角
的大小为
.

法一:

延长
、
交于点
，过做

于
，连接
.

因为
是矩形，平面
⊥平面
，

所以
⊥平面
，又
平面
，

所以
⊥
，
平面
所以
，
为二面角
的平面角.

由题意
.……………7分

在
中，
，
，
，则

所以
.……………10分

又在
中，
，所以
.

所以在线段
上存在点，使二面角
的大小为
，

此时
的长为
.………………12分

法二:

由于四边形
是菱形，

是
的中点，
,

所以
为等边三角形，可得
.

又
是矩形，平面
⊥平面
，

所以
⊥平面
.

如图建立空间直角坐标系
.………5分

则
，
，

，
.

，
.……7分

设平面
的法向量为
.

则
,所以

令
.所以
.………………9分

又平面
的法向量
,………………10分

所以
.………………11分

即
，解得
.所以在线段
上存在点，使二面角
的大小为
，此时
的长为
.………………12分.

19.解(1)
、可能的取值为、、
，

，且当
或
时，

又有放回摸两球的所有情况有
种，

.………………6分

(2)
的所有取值为
．

时，只有
这一种情况．

时，有
或
或
或
四种情况，

时，有
或
两种情况．

，
，
，…………………8分

则随机变量
的分布列为：

























………10分

因此，数学
.………………12分

20解(1)由题设知，圆
的圆心坐标是
，半径为，

故圆与轴交与两点
，
.……………1分

所以，在椭圆中
或
，又
，

所以，
或
(舍去，∵
), ……………3分

于是，椭圆
的方程为
.………………4分

(2)设
，
；

直线
与椭圆
方程联立
,

化简并整理得
.………………5分

∴
，
,

∴
，

.……7分

∵
，∴
,即
得

∴
，
，即为定值.………………9分

(3)∵
，
,

∴直线
的方程为
.…………10分

令
，则

,

∴
.………………11分

解法一：

当且仅当
即
时等号成立.

故
的面积存在最大值.……………13分

(或:
,

令
，

则
.………12分

当且仅当
时等号成立，此时
.

故
的面积存在最大值.……………13分

解法二：

.………………10分

点到直线
的距离是
.

所以，

.………………11分

令
，

,……12分

当且仅当
时，此时
,

故
的面积存在最大值，其最大值为.……………13分

21.解:
.

(1)由已知得:
,且
，

，
，
.………………3分

(2)当
时，
,

,故当
时，
.

又
，
，故
在
上是增函数. ……………7分

(3)当
时，由(2)知，
在[1，2]上的最小值为
，故问题等价于：

对任意的
，不等式
恒成立.……8分

记
，（
），

则
，

当
时，
，
，
在区间
上递减，此时，
，

时不可能使
恒成立，故必有
，…………10分

.

若
，可知
在区间
上递减，在此区间上，有
，与
恒成立矛盾，故
，此时
，
在
上递增，且恒有
，满足题设要求，

，即
，即实数的取值范围为
.……………14分