江西省宜春市2013届高三模拟考试

数学（文）试题

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.
为虚数单位，如果
为纯虚数，那么实数
的值为（　　）

A.
B.
或
C.
D.
或

2. “
”是“直线
与直线
垂直”的（　　）

A．充要条件 B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3.已知集合
，函数
的定义城为
，则
=

（　 ）

A．
B．
C．
D．

4.函数
的零点所在的区间是（　　）

A．
B．
C．
D．

5.已知
，
，且
，则向量
与向量
的夹角是（　　）

A．
B．
C．
D．

6.已知函数
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

7.如下图所示，当
时，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有
个点，若第
个图案中总的点数记为
，则
（　　）

A.
B.
C.
D.

8.已知双曲线
的焦点为
，点
在双曲线上，且
，则点
到
轴的距离为（　　）

A．
B．
　 C．
　 D．

9.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果

=（ 　 ）

A．
　　　　　B．
　　　　

C．
　　　　 D．

10.把函数
的图像
向右平移
个单位长度，再向下平移
个单位长度后得到图像
．若对任意的
，曲线
与
至多只有一个交点，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分）

11.等差数列
中,若
则
的值是 .

12.某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取
名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段
，
…
后得到如下图所示的部分频率分布直方图.在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观察图形的信息，据此估计本次考试的平均分为 .

13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .

14.若关于
的不等式
有实数解，则实数
的取值范围是 .

15.记

，则
的最小值是 .

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、演算过程及步骤）

16．(本小题满分12分)

已知向量
，函数
，将函数
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移
个单位，所得函数图象对应的解析式记为
.

（1）求
的解析式；

（2）在锐角
中，
是角
、
、
所对的边，且满足
，求
的取值范围.

17．(本小题满分12分)

设
和
都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意
，都有
，则称
和
是“友好函数”，设
.

（1）若
，求
和
是“友好函数”的概率；

（2）若
，求
和
是“友好函数”的概率．

18.（本题满分12分）

如图（2）的多面体是由如图（1）的一个正方形
和一个直角梯形
沿
翻折成一个直二面角
所得到，
,
为
的中点，在多面体中：

（1）求证：
；

（2）若
为
的中点，
为
的中点，在
上确定一点
，使
平面
，并给出证明．

19．（本小题满分12分）

在数列
中，已知
.

（1）求证：数列
是等差数列；

（2) 设数列
满足
，求
的前
项和
.

20．(本小题满分13分)

已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点，离心率等于
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）过
轴上异于椭圆
长轴端点的一定点
作直线
交椭圆
于
、
两点，交
轴于
点，若
,试问：
是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由.

21．(本小题满分14分)

设函数
.

（1）若
，求
的单调区间；

（2) 若当
时恒有
，求实数
的取值范围．

江西省宜春市2013届高三模拟考试数学（文）试题

参考答案

一、DBBCB BCBDB

二、11．8 12． 71 13．
14．
15．

三、16．解：（1）

……… 4分

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得
，再向右平移
个单位后得
……… 6分

（2）

，

又
，
.………8分

在锐角△ABC中

.于是
，……… 10分

所以
……… 12分

17．解： （1）设事件A=
和
是“友好函数”，

则|
|（
）所有的情况有：

，

共6种且每种情况被取到的可能性相同。 ……… 3分

又当
时，
在
上递减，在
上递增；

和
在
上递增，……… 4分

∴对
可使
恒成立的有

故事件A包含的基本事件有4种，……… 5分

∴所求概率是
……… 6分

（2）设事件B=
和
是“友好函数”，

∵
是从区间[1,4]中任取的数，
是从区间[1，4]中任取的数,

∴点
所在区域是长为3,宽为3的矩形区域，如图所示：……… 8分

要使
时，
恒成立，

且

∴事件B的点的区域是如图所示的阴影部分……… 10分

∴

∴所求概率是
……… 12分

18.解：（1）∵
平面
，
∴
平面
，

∴
平面
，又
平面
， ∴
．……… 2分

，∴四边形
为正方形，

∴
， ……… 4分

又
∴
⊥平面
． ……… 6分

（2）当点
为
时，
，……… 7分

连
交
于
，连
、
，

为
的中点，
为
的中点，

，又
，……… 10分

，
为平行四边形，

∴
……… 12分

19． 解：（1）∵
,∴数列｛
｝是首项为
，公比为
的等比数列，……… 2分

∴
.又∵
，∴
……… 4分

∴
，公差d=3，∴数列
是首项
，公差
的等差数列.………………6分

（2）由（1）知，
，
（n
）∴
.……7分

∴
， ①

于是
② … 9分

两式①-②相减得

=
.………………………………………………………………………11分

∴
……………………………………………………12分.

20解：（1）设椭圆C的方程为
，则由题意知b = 1.

∴椭圆C的方程为
…………………………………………………5分

（2）设A、B、P点的坐标分别为

显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是

将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得

……………………………………6分

……………………………………7分

又
则
…………………9分

……………………………………11分

为定值 ……………………………………13分

21．解：（1）
时,

……………2分

令
得
令
得
……………4分

故
的单调递增区间为
单调递减区间为
……………5分

（２）

，

令

，

①当
时，有
在
上单调递增，

…………………………7分

当
时，

在
上单调递增，

此时恒有
，
满足题意; …………………………9分

当
时,
故在
在
上有且只有一个零点,设其为
,则
时,

在
上单调递减，此时有
，
不合题意; …………………………11分

②当
时,
所以

在
上单调递减，此时恒有
，
不合题意;

综上可知,
的取值范围为
.…………………………14分