一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每題给出的四个选中，只有一项是符合题目要求）

（1）已知全集
和集合
如图所示，

则

A.
B.

C.
D.

（2）若复数
是纯虚数,其中是实数,
,则

A.
B.
C.
D.

（3）命题“存在
”的否定是

A.不存在
B.存在

C.对任意的
D.对任意的

（4）已知函数
,则
的单调递增区间是

A.
B.

C.
D.

（5）已知函数
,则下列区间必存在零点的是

A.
B.
C.
D.

（6）设等差数列
的前项和为
,若
,则
等于

A.
B.
C.
D.

（7）一个几何体的三视图及尺寸如图所示,

则该几何体的体积为

A.

B.

C.

D.

（8）函数
的图象为

（9）平面上画了一些彼此相距
的平行线,把一枚半径
的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率是

A.
B.
C.
D.

（10）曲线

在点
处的切线与直线
垂直,则

A.
B.
C.
D.

（11）若输入数据

执行如图所示的算法程序,则输出结果为

A.
B.
C.
D.

（12）已知
是不共线三点,则满足
面积等于
面积的点的轨迹是

A.两条平行线 B.过点的两条直线(不含点)

C.
的平分线 D.
边的中垂线

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横钱上）

（13）在
的展开式中,含
项的系数是＿＿＿

（14）当实数
满足约束条件
(为常数)时
有最大值为
,则实数的值为＿＿＿

（15）梯形
中,
∥
,
,

分别是

的中点,设
,

.若
,则
＿＿＿

（16）边长是
的正三角形
内接于体积是
的球
,则球面上的点到平面
的最大距离为＿＿＿

三、解答题（本大题共6题，共70分，解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）

（17）. （本小题满分12分）

如图,在海岸处发现北偏东
方向,距处
海里处有一艘走私船,在处北偏西
方向,距处海里的
处的我方缉私船奉命以
海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以
海里/小时的速度,从处向北偏东
方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.

(18). （本小题满分12分）

如图，已知
平面
，
平面
，

△
为等边三角形，
，为
的中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：平面
平面
；

（Ⅲ）求直线
和平面
所成角的正弦值。

(19). （本小题满分12分）

甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得
分，比赛进行到有一人比对方多分或打满
局时停止．设甲在每局中获胜的概率为
，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为
．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设
表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量
的分布列和数学期望
．

(20). （本小题满分12分）

已知平面上一定点
和一定直线
Ｐ为该平面上一动点，作
垂足为
，
.

(1) 问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；

（2）点Ｏ是坐标原点，
两点在点Ｐ的轨迹上，若
，求
的取值范围．

（21）（本小题满分12分）

已知函数
（为常数）.

(Ⅰ)当=1时，求函数g(x)=
(x)﹣2x的单调区间；

(Ⅱ)若函数
(x)在区间（0，2）上无极值，求的取值范围；

(Ⅲ)已知n∈
且n≥3，求证：ln
<

请考生在第(22)、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

（22）．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，

直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的

中点，连结AD并延长交⊙O于点E，

若PA＝2
，∠APB＝30°．

（Ⅰ）求∠AEC的大小；

（Ⅱ）求AE的长．

（23）．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xoy中，动点A的坐标为（2－3sinα，3cosα－2），其中α∈R。

在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为

ρcos（θ－
）＝a.

（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；

（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值。

（24）．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲

设函数

（Ⅰ）不等式
的解集为
，求的值；

（Ⅱ）若
的定义域为R，求实数m的取值范围。

宁夏育才中学2012—2013高三模拟（一）

理科数学试题答案

1.A 2.D 3.D 4.C 5.C 6.B 7.B

8.A 9.A 10.D 11.B 12.B

13.1120 14.-12 15.-4 16.

17.解:设缉私船应沿
方向行驶小时,

才能最快截获(在点)走私船,则
海里,

海里,在
中,由余弦定理,得

海里.

,
,

点在
点的正东方向上.

在
中,由正弦定理,得
,

,

，缉私船沿北偏东
的方向行驶。

又在
中，
，
，
，

，即
。
小时
分钟。

故缉船应沿北偏东
的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要
分钟。

18. 解:设
，建立如图所示的坐标系

∵为
的中点，∴
．

?（Ⅰ） 证：
，

∵
，
平面
，

∴
平面
． ……4分

?（Ⅱ）证：∵
，

∴
，∴
． ∴
平面
，

又
平面
， ∴平面
平面
． ……8分

（Ⅲ）解：设平面
的法向量为
，由
可得：

，取
． …10分

又
，设
和平面
所成的角为
，则

． ∴直线
和平面
所成角正弦值为
...12分

19.解：（Ⅰ）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，

故
，解得
或
．

又
，所以
． …………………6分

（Ⅱ）依题意知
的所有可能取值为2，4，6．

，
，
，

所以随机变量
的分布列为：



















所以
的数学期望
．………………12分

20.解:(1)由
得:
…… 2分

设
,则
,化简得:
,

点P在椭圆上,其方程为
…… 6分

(2)设
、
，由
得：
，所以，

、B 、C三点共线.且
,得:
,即:

因为
,所以
① …… 8分

又因为
,所以
②

由①-②得:
,化简得:
, ……10分

因为
,所以

解得:
所以
的取值范围为
.

21.解: (Ⅰ) 当=1时，
,
,

=
（x>0）.

由
>0，解得0
.

即函数g(x)在区间
上单调递增，在区间（
，+∞）上单调递减.

(Ⅱ)
=

当≤0时，
在区间（0，2）上恒成立，即
(x)在区间（0，2）上无极值.

当>0时，由
=0，得x=.当x变化时，
、
(x)的变化情况如下表：

x

(0,)



(,+∞)





+

0

﹣



f (x)

↗

极大值

↘





(Ⅲ) 由(Ⅱ)知，当=1时，
在x=1处取得最大值0.则
≤0，即
.

令x=
，n∈
且n≥3，则 ln
<
.即ln(n+1)-
<
.

∴当n∈
且n≥3时，ln
= ln(n+1)-ln3= [ ln(n+1)-
]+ [
- ln(n-1)]+…+（ln4-ln3）

＜
+
+
+…+
. 故ln
<
.

24、解：（Ⅰ）由
≤得，
，………………2分

因为不等式
≤的解集为
，所以
解得a=1; …………5分

（Ⅱ）由
的定义域为知；

对任意实数x，有
恒成立. ………………7分

因为
，所以
,.………………10