专题四 空间几何

2013年2月

（虹口区2013届高三一模）16、已知
、
、
是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）

如果
，
．则
．
如果
，
．则
、
、
共面．

如果
，
．则
．
如果
、
、
共点．则
、
、
共面．

【答案】A

【解析】根据线面垂直和平行的性质可知，A正确，所以选A.

（2013普陀区期末）4.【理科】如图，正方体
中，直线
与平面
所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.

【答案】

【解析】连结
,则
是
在平面
上的射影，所以
为直线
与平面
所成的角，所以设正方体的边长为1，则
，所以
，所以

。

（2013普陀区期末）13. 三棱锥
中，
、
、
、
分别为
、
、
、
的中点，则截面
将三棱锥
分成两部分的体积之比为 .

【答案】

【解析】因为
、
、
、
分别为
、
、
、
的中点，所以四边形
为平行四边形，
平行平面
且
平行平面
，且
和
到平面
的距离相同。每一部分都可以可作是一个三棱锥和一个四棱锥两部分的体积和。如图1中连接DE、DF，VADEFGH=VD﹣EFGH+VD﹣EFA：图2中，连接BF、BG，

VBCEFGH=VB﹣EFGH+VG﹣CBFE，F，G分别是棱AB，AC，CD的中点，所以VD﹣EFGH=VB﹣EFGHVD﹣EFA的底面面积是VG﹣CBF的一半，高是它的2倍，所以二者体积相等．

所以VADEFGH：VBCEFGH=1：1

（青浦区2013届高三一模）6．若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 ．

【答案】

【解析】设圆柱的底面半径为
，母线为
，则
，所以
。

（杨浦区2013届高三一模 理科）7. 若圆椎的母线
,母线与旋转轴的夹角
,则该圆椎的侧面积为
.

【答案】

【解析】因为线与旋转轴的夹角
，设底面圆的半径为
，则
。所以底面圆的周长
，所以该圆锥的侧面积
。

（浦东新区2013届高三一模 理科）9．若一个圆锥的轴截面是边长为
的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为
.

【答案】

【解析】因为圆锥的轴截面是边长为
的等边三角形，所以母线
，底面半径
.所以底面周长
，所以侧面积为
.

（嘉定区2013届高三一模 理科）8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为
的半圆，则这个圆锥的体积是________．

【答案】

【解析】因为圆锥的侧面展开图是一个半径为
的半圆，所以圆锥的，母线
,设圆锥底面圆的半径为
，则
,即
,所以圆锥的高为
,所以圆锥的体积是
.

（（青浦区2013届高三一模）5．已知：正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积
．

【答案】

【解析】正三棱柱的底面面积为
，所以体积为
。

（长宁区2013届高三一模）17、已知m，n是两条不同直线，
是两个不同平面，下列命题中的假命题的是（ ）

A.
B.

C.
D.

【答案】C

【解析】C中，当
时，直线
，当
时，直线
不一定成立，所以C为假命题，选C.

（宝山区2013届期末）12.已知半径为R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于
，且经过这三个点的小圆周长为
，则R= ．

【答案】

【解析】设三点分别为A、B、C，球心为O，由题意知∠AOB=∠AOC=∠BOC=
，所以AB=BC=CA=R，所以小圆半径为
，小圆周长为
，解得R=
.

（长宁区2013届高三一模）11、（理）我们知道，在平面中，如果一个凸多边形有内切圆，那么凸多边形的面积S、周长c与内切圆半径r之间的关系为
。类比这个结论，在空间中，如果已知一个凸多面体有内切球，且内切球半径为R，那么凸多面体的体积V、表面积S＇与内切球半径R之间的关系是 。

【答案】

【解析】根据类比可知凸多面体的体积V、表面积S＇与内切球半径R之间的关系是
.

（崇明县2013届高三一模）8、若圆锥的侧面展开图是半径为1cm、圆心角为
的

半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于　　　　　　　　　.

【答案】

【解析】因为半圆的周长为
，所以圆锥的母线为1。设圆锥的底面半径为
，则
，所以
。圆锥的高为
，所以圆锥的轴截面面积为
。

（浦东新区2013届高三一模 理科）13．动点
在边长为1的正方体
的对角线
上从
向
移动，点
作垂直于面
的直线与正方体表面交于
，
，

则函数
的解析式为

【答案】

【解析】

如图1，过P作平面A2B2C2D2，使平面A2B2C2D2∥平面ABCD，则P是BD1与B2D2的交点.

如图2 ，在面A2B2C2D2中，过P作MN⊥BD，则由MN⊥BB1，得MN⊥面BB1D1D.

如图3 ，在面BB1D1D中，令PB2=t，则
(
(
.

如图2、3，若0≤x≤
，则MN=2 PB2=
；

若

∴
.

（杨浦区2013届高三一模 理科）19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．

如图，在三棱锥
中，
平面
，
，
，
,

分别是
的中点，

（1）求三棱锥
的体积；

（2）若异面直线
与
所成角的大小为
，求
的值.

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．

(1)由已知得，
………2分

所以 ，体积
………5分

(2)取
中点
，连接
，则
，

所以
就 是异面直线
与
所成的角
. ………7分

由已知，
，

. ………10分

在
中，
，

所以，
. ………12分

(其他解法，可参照给分)

（浦东新区2013届高三一模 理科）19．（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）

如图，直三棱柱
中，
,
.

（1）求点
到平面
的距离；

（2）求二面角
的大小.

解：（1）
，

.

. …3分

设点
到平面距离为
，由
.
点
到平面距离为
. ……6分

（2）设
的中点为
，连结
.

.

是二面角
的平面角.………………………8分

二面角
的大小为
.………………………………12分

（嘉定区2013届高三一模 理科）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．

如图，在三棱锥
中，
底面
，
，
．

（1）求异面直线
与
所成角的大小；

（2）求三棱锥
的表面积
．

20．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）

（1）取
中点
，
中点
，
中点
，

连结
，
，
，则
∥
，
∥
，

所以
就是异面直线
与
所成的角（或

其补角）．…………（2分）

连结
，则
，……（3分）

， …………（4分）

又
，所以
．…………（5分）

在△
中，
，……（7分）

故
．所以异面直线
与
所成角的大小为
．…………（8分）

（2）因为
底面
，所以
，
，
，

又
，所以
平面
，所以
，…………（2分）

所以△
、△
、△
、△
都是直角三角形．……（3分）

所以，
．……（6分）

（黄浦区2013届高三一模 理科）19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

如图所示，在棱长为2的正方体
中，
,
分别为线段
,
的

中点．

（1）求异面直线
与
所成的角；

（2）求三棱锥
的体积．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

解：（1）连
，由
、
分别为线段
、
的中点，

可得
∥
，故
即为异面直线
与
所成的角． …………………2分

在正方体
中，∵
平面
，

平面
，∴
，

在
△
中，
，
，

∴
，∴
．

所以异面直线EF与BC所成的角为
．……… 6分

（2）在正方体
中，由
平面
，
平面
，

可知
，∵
，
是
中点，

∴
，又
与
相交，∴
平面
， …………………………9分

又
，

故
，

所以三棱锥
的体积为
． ……………………………………12分

（青浦区2013届高三一模